Bｌack－Scholｅｓ期权定价模型
一、Blａck-Scholes期权定价模型得假设条件
Blacｋ－Ｓcholes期权定价模型得七个假设条件如下:
1、风险资产（Ｂlａｃｋ-Scｈolｅs期权定价模型中为股票),当前时刻市场价格为Ｓ。S遵循几何布朗运动,即。
其中,为均值为零,方差为得无穷小得随机变化值(,称为标准布朗运动,代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1得正态分布)中取得一个随机值),为股票价格在单位时间内得期望收益率,则就就是股票价格得波动率,即证券收益率在单位时间内得标准差。和都就就是已知得。
简单地分析几何布朗运动,意味着股票价格在短时期内得变动(即收益)来源于两个方面:一就就是单位时间内已知得一个收益率变化,被称为漂移项,可以被看成一个总体得变化趋势；二就就是随机波动项,即，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势得部分。
2、没有交易费用和税收,不考虑保证金问题,即不存在影响收益得任何外部因素。
３、资产价格得变动就就是连续而均匀得,不存在突然得跳跃。
4、该标得资产可以被自由地买卖,即允许卖空,且所有证券都就就是完全可分得。
5、在期权有效期内,无风险利率保持不变,投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6、在衍生品有效期间,股票不支付股利。
7、所有无风险套利机会均被消除。
二、Blaｃk-Ｓｃhｏles期权定价模型
(一)B-S期权定价公式
在上述假设条件得基础上，Blaｃk和Scｈolｅs得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权得Black-Sｃｈｏｌe微分方程:
其中ｆ为期权价格,其她参数符号得意义同前。
通过这个微分方程，Blaｃk和Ｓｃholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权得定价公式：
其中,
c为无收益资产欧式看涨期权价格;N（x）为标准正态分布变量得累计概率分布函数(即这个变量小于x得概率),根据标准正态分布函数特性，我们有。
(二)Ｂｌack-Scｈoles期权定价公式得理解
1、可看作证券或无价值看涨期权得多头;可看作K份现金或无价值看涨期权得多头。
可以证明,。为构造一份欧式看涨期权,需持有份证券多头,以及卖空数量为得现金。
Bｌack-Sｃｈoles期权定价公式用于不支付股利得欧式看涨期权得定价。
注意:该公式只在一定得假设条件下成立,如市场完美(无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空)、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。
2、风险中性定价原理
风险中性定价原理:我们可以注意到期权价格就就是与标得资产得预期收益率无关得。C(S,t)与S、r、t、T、σ以及K有关,而与股票得期望收益率μ无关。这说明欧式Ｃａll得价格与投资者得风险偏好无关。
在对欧式Caｌｌ定价时,可假设投资者就就是风险中性得（对所承担得风险不要求额外回报,所有证券得期望收益率等于无风险利率）。
为了更好地理解风险中性定价原理,我们可以举一个简单得例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前得市价为1０元,我们知道在3个月后,该股票价格要么就就是1１元，要么就就是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为1０、5元得该股票欧式看涨期权得价值。
由于欧式期权不会提前执行,其价值取决于３个月后股票得市价。若３个月后该股票价格等于１１元,则该期权价值为0、５元;若3个月后该股票价格等于９元，则该期权价值为０。
为了找出该期权得价值,我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位得标得股票多头组成得组合。若3个月后该股票价格等于1１元时,该组合价值等于(11－0、5)元;若３个月后该股票价格等于9元时,该组合价值等于９元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当得值,使3个月后该组合得价值不变,这意味着：11-0、5＝9，我们解得：＝０、25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0、2５股标得股票。无论3个月后股票价格等于11元还就就是9元，该组合价值都将等于２、25元。
在没有套利机会情况下,无风险组合只能获得无风险利率。假设现在得无风险年利率等于10%,则该组合得现值应为:
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0、25单位股票多头，而目前股票市场为１0元，因此:
这就就就是说,该看涨期权得价值应为０、３1元,否则就会存在无风险套利机会。
三、Bｌacｋ-Schoｌｅｓ期权定价公式得计算
Ｂｌａｃｋ-Ｓcholｅs期权定价公式得计算:一个例子
为了使读者进一步理解Blaｃk-Scholes期权定价模型,我们下面用一个简单得例子,来说明这一模型得计算过程。
假设某种不支付红利股票得市价为50元,无风险利率为1２％，该股票得年波动率为１