§2.1函数的概念及其表示
课标要求1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(×)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(×)
(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点.(√)
(4)函数f(x)=x?1，x≥0，x2，x
2.以下图形中，不是函数图象的是()
答案A
解析根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是()
A.y=x+33?x与
B.y=x2与y=(x-1)2
C.y=x2与y=
D.y=1与y=x0
答案BCD
解析对于A选项，y=x+33?x的定义域是[-3，3)，y=x+33?x的定义域是[-3，
对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数；
对于C选项，y=x2=|x|
对于D选项，y=1的定义域是R，y=x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数.
4.已知函数f(x)=x2，x≤1，log4
答案1
解析因为f(-2)=(-2)2=4，所以f(f(-2))=f(4)=log44=1.
1.求函数的定义域时，需掌握的几个常用结论
(1)分式型1f(x)要满足f(
(2)根式型2nf(x)(n∈N*)要满足f
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0.
(4)对数型logaf(x)(a0，且a≠1)要满足f(x)0.
(5)正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠π2+kπ，k∈Z
2.谨防四个易误点
(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.
题型一函数的概念
例1(1)(多选)下列选项中正确的是()
A.函数f(x)=1x+1-x的定义域为[0，+
B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
C.函数y=x2?1x+1与函数
D.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
答案ABD
解析对于A，由题意x+1≠0，x≥0，解得
对于B，由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，B正确；
对于C，函数y=x2?1x+1的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，函数y=x-1的定义域为
对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x的值一定不同，D正确.
(2)(2025·阜阳模拟)已知函数y=f(x)的定义域为0，4，则函数y=f(x+1)x?1+(x-2)
答案(1，2)∪(2，3]
解析由题设知0
可得?1
则x∈(1，2)∪(2，3].
思维升华函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.
跟踪训练1(1)函数f(x)=1x?2+ln(
A.(1，+∞) B.(1，2)∪(2，+∞)
C.(-∞，1) D.(0，2)∪(2，+∞)
答案B
解析因为f(x)=1x?2+ln(x
所以要使函数有意义，则x
解得x1且x≠2，
所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，+∞).
(2)(多选)下列命题中是假命题的是()
A.函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线
B.f(x)=x?3+2?
C.若函数f(x)的定义域为(-1，2)，则函数f(x+1)的定义域为(0，3)
D