极值点偏移问题
极值点偏移的判定定理
对于可导函数y＝f(x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f(x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b．
(1)若0＝f(x1)＜f(2x0－x2)，则x1+x22＜(＞)x0，即函数y＝f(x)在区间(x1，x
(2)若0＝f(x1)＞f(2x0－x2)，则x1+x22＞(＜)x0，即函数y＝f(x)在区间(x1，x
极值点左偏
极值点左偏
【思维突破妙招】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
(1)证明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)：
①构造函数g(x)＝f(x)－f(2a－x)，求导，确定函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的单调性；
②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f(x1)＝f(x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f(x1)－f(2a－x1)＝f(x2)－f(2a－x1)与零的大小关系；
③由函数y＝f(x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题．
(2)证明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都为正数)：
①构造函数g(x)＝f(x)－fa2x，求导，确定函数y＝f(x)和函数y＝g(
②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f(x1)＝f(x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f(x1)－fa2x1＝f(x2)－
③由函数y＝f(x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与a2
(3)应用对数平均不等式x1x2＜x
①由题中等式产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到x1
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
技法对称化构造辅助函数
[典例]已知函数f(x)＝xe－x．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x22．
[听课记录]
极值点偏移问题的常用策略
首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换令t
[跟进训练]
1．(2022·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝exx－lnx＋x－a．证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2
2．已知函数f(x)＝lnx－ax2，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个不等实根，求证：x12