重难专攻（七）数列中的创新性问题
【重点解读】随着高考改革的不断深入，高考也由单纯的知识考查转变为能力、素养的全面考查，特别是对学生数学思维能力、归纳探索能力有了更高的要求，数列中的创新性问题因其情境设置新颖，考查角度灵活多变等特点，已经成为了新高考数学的“新宠”.
提能点1
数列的新情境问题
九连环是中国最杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下（或安上）第n号环，则第（n－1）号环必须解下（或安上），n－1往前的都要解下（或安上）才能实现，记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋2an－2＋1（n≥3），则解六连环最少需要移动圆环步数为42.
解析：由题意可得，a3＝a2＋2a1＋1＝2＋2＋1＝5，a4＝a3＋2a2＋1＝5＋4＋1＝10，a5＝a4＋2a3＋1＝10＋10＋1＝21，a6＝a5＋2a4＋1＝21＋20＋1＝42.
规律方法
对于新情境问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象的本质特征、数量关系（数量化的特征）等，建立数学模型求解.
练1（2022·新高考Ⅱ卷3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，CC，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
解析：D法一如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1·（k3－0.2），BB1＝CB1（k3－0.1），AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1（k3－0.2），BB1＝OD1（k3－0.1），AA1＝k3OD1.又DD1OD1＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1（k3－0.2）＋OD1（k3－0.1）＋k3OD1＝OD1（3k3＋0.2），所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝OD1（3k3
法二设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且DD1＋CC1＋BB1＋AA1OD1＋DC1＋C
提能点2
定义“新数列”（新概念、新性质、新运算）
已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai＋1，ai＋2，…，ai＋j（j≥0），使得ai＋ai＋1＋ai＋2＋…＋ai＋j＝n，则称Q为m—连续可表数列.
（1）判断Q：2，1，4是否为5—连续可表数列？是否为6—连续可表数列？说明理由；
（2）若Q：a1，a2，…，ak为8—连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若Q：a1，a2，…，ak为20—连续可表数列，且a1＋a2＋…＋ak＜20，求证：k≥7.
解：（1）若m＝5，则对于任意的n∈{1，2，3，4，5}，
a1＝2，a2＝1，a1＋a2＝2＋1＝3，a3＝4，a2＋a3＝1＋4＝5，
所以Q是5—连续可表数列.
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6—连续可表数列.
（2）证明：反证法：假设k的值为3，则a1，a2，a3最多能表示a1，a2，a3，a1＋a2，a2＋a3，a1＋a2＋a3，共6个数字，与Q为8—连续可表数列矛盾，故k≥4.
现构造Q：4，2，1，5，可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在k＝4满足题意，
故k的最小值为4.
（3）证明：先证明k≥6.
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5＋4＋3＋2＋1＝15个正整数，不能表示20个正整数，即k≥6.
若k＝6，最多可以表示6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个正整数，
由于Q为20—连续可表数列，且a1＋a2＋…＋ak＜20，
所以至少有一项为负数，
既然任意5个正整数都不可能为20—连续可表数列，
那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示1～20的正整数.
所以至少要有6个正整数才能连续表示1～20的正整数.
所以Q中至少包含6个正整数和一个负数，故k≥7.