§4.4简单的三角恒等变换
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·大连模拟)设θ∈0，π2，若cosθ=35，则sin2θ
A.15 B.45 C.1225
2.已知sin2α=23，则cos2α+π4
A.33 B.16 C.66
3.(2024·齐齐哈尔模拟)已知cosα+π6=14，则sin2
A.-78 B.78 C.716 D
4.已知tanα=13，tanβ=-17，且α，β∈(0，π)，则2α-β等于(
A.π4 B.-
C.-3π4 D.-3π4
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数f(x)=sinx(sinx+cosx)，则()
A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)max=2
C.f(x)min=-2+12 D.f
6.(2024·佛山模拟)已知角θ的终边过点P(3，4)，则()
A.cos2θ=-725 B.tan2θ=-
C.cosθ2=255 D.tan
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.计算：sin235°-
8.已知cos2θcosπ4-θ=3
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·西安模拟)(1)化简：cos2α1
(2)求值：sin50°(1+3tan10°).(7分)
10.(15分)已知3sinα=2sin2α2-1
(1)求sin2α+cos2α的值；(7分)
(2)已知α∈(0，π)，β∈π2，π，2tan2β-tanβ-1=0，求α+β的值.
每小题5分，共10分
11.已知函数f(x)=12sinxcosx-12cos2x+14.若fα2=25，则sin2
A.1225 B.-725 C.725
12.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos36°的值.先利用sin3α=sin(2α+α)可求得sin3α=(用单角α的正弦值表示)；再求得cos36°=.?
答案精析
1.D[因为θ∈0，π2，cosθ
所以sinθ＝1-cos
则sin2θ＝2sinθcosθ
＝2×45×3
2.B[cos2α
＝1
＝12(－sin2α＋1
＝12×-2
3.B[∵cosα＋
可得sin2
＝－cosπ
＝－cos2
＝1－2cos2α
＝1－2×116＝
4.C[因为tanα＝13，tanβ＝－1
则tan2α＝2tan
＝34
tan(2α－β)＝tan2α-tanβ1＋
因为α，β∈(0，π)，
tanα0，tanβ0，
则0απ2，π2β
又tan2α0，有02απ2
于是得－π2α－β0，
因此，2α－β＝－3π4.
5.ACD[f(x)＝sin2x＋sinxcosx
＝1-cos2x2＋1
＝22sin2
∴f(x)的最小正周期为π，
故A正确；
f(x)max＝2＋
f(x)min＝-2
故B错误，C正确；
fπ8＝22sin
故D正确.]
6.ABD[因为角θ的终边过点P(3，4)，
所以cosθ＝33
sinθ＝432＋42＝4
所以cos2θ＝2cos2θ－1
＝2×925－1＝－7
tan2θ＝2tanθ1-tan2θ＝2
因为2kπθ2kπ＋π2(k∈Z)
所以kπθ2kπ＋π4(k∈Z)，即角
所以tanθ20，但cosθ20或cosθ20
由tanθ＝2tanθ
得2tan2θ2＋3tanθ2－2＝
解得tanθ2＝－2(舍去)或tanθ2＝12
7.－1
解析sin235°-12cos10°cos80°＝1-cos70°
8.7
解析cos2
＝2(cosθ－sinθ)＝32
故cosθ－sinθ＝34
两边平方得cos2θ－2sinθcosθ＋sin2θ＝1－sin2θ＝916
解得sin2θ＝716
9.解(1)co
＝co
＝co
＝12sinαcosα＝14sin2
(2)sin50°(1＋3tan10°)
＝sin50°1
＝sin50°·3
＝sin50°·2sin40°
＝2sin50°cos50°
＝sin100°cos10°＝
10.解(1)因为3sinα＝2sin2α2－1
所以3sinα＝－cosα，
所以tanα＝－13
所以sin2α＋cos2α
＝2sin
＝2tan
＝2×
(2)因为β∈π2，π，所以tan
因为2tan2β－tanβ－1＝(2tanβ＋1)(tanβ－1)＝0，
所以tanβ＝－12
又因为α∈(0，π)，tan