牛顿法及其收敛性课件*第1页，共31页，星期日，2025年，2月5日（4.2）这就是牛顿(Newton)法.牛顿法的几何解释.方程的根可解释为曲线与轴的交点的横坐标（图7-3).设是根的某个近似值，过曲线上横坐标为的点引切线，并将该切线与轴的交点的横坐标作为的新的近似值.图7-3*第2页，共31页，星期日，2025年，2月5日注意到切线方程为这样求得的值必满足(4.1），从而就是牛顿公式（4.2）的计算结果.由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.牛顿法（4.2）的收敛性，可直接由定理4得到，对（4.2）其迭代函数为由于假定是的一个单根，即，则由上式知，于是依据定理4可以断定，牛顿法在根的邻近是平方收敛的.*第3页，共31页，星期日，2025年，2月5日又因故由（2.9）可得（4.3）例7用牛顿法解方程（4.4）解这里牛顿公式为取迭代初值，迭代结果列于表7-5中.*第4页，共31页，星期日，2025年，2月5日所给方程（4.4）实际上是方程的等价形式.若用不动点迭代到同一精度要迭代17次，可见牛顿法的收敛速度是很快的.牛顿法的计算步骤：步骤1准备选定初始近似值，计算步骤2迭代按公式迭代一次，得新的近似值，计算步骤3控制如果满足或，则终*第5页，共31页，星期日，2025年，2月5日止迭代，以作为所求的根；否则转步骤4.此处是允许误差，而其中是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取.步骤4修改如果迭代次数达到预先指定的次数，或者，则方法失败；否则以代替转步骤2继续迭代.*第6页，共31页，星期日，2025年，2月5日7.4.2牛顿法应用举例对于给定的正数，应用牛顿法解二次方程可导出求开方值的计算程序（4.5）这种迭代公式对于任意初值都是收敛的.事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知*第7页，共31页，星期日，2025年，2月5日以上两式相除得据此反复递推有（4.6）记整理（4.6）式，得*第8页，共31页，星期日，2025年，2月5日对任意，总有，故由上式推知，当时，即迭代过程恒收敛.解取初值，对按（4.5）式迭代3次便得到精度为的结果（见表7-6).由于公式（4.5）对任意初值均收敛，并且收敛的速度很快，因此可取确定的初值如编成通用程序.例8求.*第9页，共31页，星期日，2025年，2月5日7.4.3简化牛顿法与牛顿下山法牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算及，计算量较大且有时计算较困难，二是初始近似只在根附近才能保证收敛，如给的不合适可能不收敛.为克服这两个缺点，通常可用下述方法.（1）简化牛顿法，也称平行弦法.其迭代公式为（4.7）迭代函数若在根附近成立，即取，则迭代法（4.7）局部收敛.*第10页，共31页，星期日，2025年，2月5日在（4.7）中取，则称为简化牛顿法，这类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与轴交点作为的近似.如图7-4所示.图7-4*第11页，共31页，星期日，2025年，2月5日（2）牛顿下山法.牛顿法收敛性依赖初值的选取.如果偏离所求根较远，则牛顿法可能发散.例如，用牛顿法求方程（4.8）在附近的一个根.