第1节导数的概念及运算
【课标要求】（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数；（2）通过函数图象，理解导数的几何意义；（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
知识点一导数的基本概念
1.平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx＝f（x0＋Δx)-f（x0）
提醒Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
2.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f（x0）或y｜x＝x0，
3.导函数：当x变化时，y＝f（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y，即f（x）＝y＝limΔ
（1）（苏教选一P200习题14题改编）设f（x）在x0处可导，下列式子与f（x0）相等的是（B）
A.lim
B.lim
C.lim
D.lim
解析：（1）对于A，limΔx→0f（x0)-f（x0＋Δx）Δx＝－limΔx→0f（x0＋Δx)-f（x0）Δx＝－f（x0），A错误；对于B，limΔx→0
（2）（人A选二P65例2改编）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15（其中0≤x≤8）.则第2h～4h中，原油温度的平均变化率为－1℃/h，第6h时原油温度的瞬时变化率为5℃/h，在第6h附近原油的温度在上升.（填“上升”或“下降”）
解析：（2）第2h～4h中，原油温度的平均变化率为f（4)-f（2）4－2＝－1（℃/h）.第6h时原油温度的瞬时变化率为f（6），由导数的定义，ΔyΔx＝f（6+Δx)-f（6）Δx＝（6+Δx）2－7（6+Δx
规律方法
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求平均变化率ΔyΔx
（2）求瞬时变化率，即取极限limΔx→0Δy
提醒函数y＝f（x）的导数f（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，｜f（x）｜的大小反映了变化的快慢，｜f（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
练1（1）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设f（4)-f（2）4
A.a＜f（2）＜f（4） B.f（2）＜a＜f（4）
C.f（4）＜f（2）＜a D.f（2）＜f（4）＜a
解析：（1）从函数的图象可知，函数值在[2，4]上增长的越来越快，故函数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为f（4)-f（2）4－2＝a，所以f（
（2）（2025·六盘水一模）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为28π3，则m＝2
解析：（2）因为V＝4π3R3，体积的增加量ΔV＝4π3m3－4π3＝4π3（m3－1），所以ΔVΔR＝4π3（m3－1）m－1＝28
知识点二导数的基本运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
f（x）＝c（c为常数）
f（x）＝0
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）
f（x）＝αxα－1
f（x）＝sinx
f（x）＝cosx
f（x）＝cosx
f（x）＝－sinx
f（x）＝ex
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝axlna
f（x）＝lnx
f（x）＝1x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝1x
2.导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]＝f（x）±g（x）；
（2）[f（x）g（x）]＝f（x）g（x）＋f（x）g（x）；
（3）［f（x）g（x）］＝f(
3.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx＝yu·ux.
结论奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数.
（1）〔多选〕（人A选二P81习题1题改编）下列求导正确的是（AC）
A.（x3lnx）＝3x2lnx＋x2
B.（2sinxx2）
C.[（3x＋5）3]＝9（3x＋5）2
D.［xsin（2x＋π2）cos（2x＋π2）］＝2xcos
解析：（1）对于A，（x3lnx）＝（x3）lnx＋x3（lnx）＝3x2lnx＋x2，故A正确；对于B，（2sinxx2）＝（2sinx)x2－2sinx（x2)x4＝2xcosx－4sinxx3，故B错误；对于C，[（3x＋5）3]＝3（3x＋5）2