第3节导数与函数的极值、最值
【课标要求】（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；（2）会用导数求函数的极大值、极小值；（3）掌握利用导数研究函数最值的方法；（4）会用导数研究生活中的最优化问题.
知识点一函数的极值
条件
f（x0）＝0
x0附近的左侧f（x）＞0，右侧f（x）＜0
x0附近的左侧f（x）＜0，右侧f（x）＞0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f（x0）为极大值
f（x0）为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
提醒f（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f（0）＝0，但x＝0不是极值点.
（1）〔多选〕（人A选二P92练习1题改编）如图是y＝f（x）的导函数f（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（AC）
A.当x＝－1时，f（x）取得极小值
B.f（x）在[－2，1]上单调递增
C.当x＝2时，f（x）取得极大值
D.f（x）在[－1，2]上不具备单调性
解析：（1）由导函数f（x）的图象知，当x＝－1时，f（x）取得极小值，故选项A正确；f（x）在[－2，1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f（x）取得极大值，故选项C正确；f（x）在[－1，2]上单调递增，故选项D错误.
（2）（人B选三P98例2改编）已知函数f（x）＝lnxx，则f（x）的极大值为1
解析：（2）函数f（x）＝lnxx的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝1－lnxx2，令f（x）＝0，
x
（0，e）
e
（e，＋∞）
f（x）
＋
0
－
f（x）
↗
极大值
↘
所以函数f（x）的极大值为f（e）＝1e
规律方法
利用导数求函数f（x）极值的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f（x）；
（3）解方程f（x）＝0，求出函数定义域内的所有根；
（4）列表检验f（x）在f（x）＝0的根x0左右两侧值的符号；
（5）求出极值.
练1（1）函数f（x）＝12x2＋lnx－2x的极值点的个数是（A
A.0 B.1C.2 D.无数
（2）（2025·岳阳质量监测）函数f（x）＝6＋12x－x3的极小值为－10.
解析：（1）函数定义域为（0，＋∞），且f（x）＝x＋1x－2＝x2－2x+1x＝（x－1）2x≥0，即
（2）函数f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，且f（x）＝12－3x2＝3（2－x）（2＋x），所以当－2＜x＜2时f（x）＞0，当x＜－2或x＞2时，f（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上单调递增，在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝－2处取得极小值，极小值为－10.
知识点二函数的最值
1.如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值.
结论（1）若函数f（x）在[a，b]上单调，则f（x）一定在区间端点处取得最值；
（2）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点.
（1）（苏教选一P231本章测试3题改编）函数f（x）＝x2sinx＋2xcosx在区间［－π2，π］上的最大值与最小值分别为（A）
A.π24，－2π B.π
C.2π，－π24 D.2π
解析：（1）由题意，得f（x）＝2xsinx＋x2cosx＋2cosx－2xsinx＝（x2＋2）cosx.当x∈［－π2，π2］时，f（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈（π2，π］时，f（x）＜0，f（x）单调递减.又因为f（π2）＝π24，f（－π2）＝－π24，f（π）＝－2π，所以f（x）
（2）已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），则x2－2x1的最大值为－4.
解析：（2）设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝em2，x2＝m－2，x2－2x1＝m－2－2em2.令h（x）＝x－2－2ex2，则h（x）＝1－ex2，令h（x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单调递增，令h（x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减，h（x）max＝h（0）＝－4，所以x2
规律方法
利用导数求给定区间上函数最值的步骤
（1）求函数f（x）的导数f（x）；
（2）利用f（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值；
（3）求f（x）在给定区间上的端点值；
（4）将f（x）的