专题02函数与导数（新定义）
一、单选题
1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；
方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；
【详解】方法一：函数，
因为，所以，
所以.所以.
所以，即.
当时，；
当时，.
故的值域为.
故选：B.
方法二：由，得.
因为，所以，解得.
当时，；
当时，.
所以的值域为.
故选：B.
2．（2019秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：
①对任意a，，；
②对任意，；
③对任意a，，．
则函数的值域是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意新定义的运算方式即可.
【详解】在③中，令，则，所以．
函数在时取最小值，最小值为；在时取最大值，最大值为5，所以函数的值域是．
故选：B．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对新定义进行化简，分别在条件，，，下化简，
结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.
【详解】因为，
，
又
所以，
(1)若则，不等式
可化为，则，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
(2)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(3)若则，不等式
可化为，所以
①若，则可化为，满足，
可化为，满足，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(4)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，满足，
可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
综上，或或或或，
由知，A错误；
由知，B错误；
当时，，
取可得，满足条件但，
C错误；
当时，，
当时，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：D.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
4．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围．
【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，
设的图象与函数的图象关于原点对称，
令，则，，
所以，
因为，又，
所以原题义等价于与在上有交点，即方程有零点，则，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即．
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而得解.
5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.
【详解】对选项A：，，函数为奇函数，满足；
对选项B：，函数定义域满足，解得，且，函数为奇函数，满足；
对选项C：为奇函数，满足；
对选项D：，，函数为偶函数，且，不满足.
故选：D
6．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如；．已知函数，其中，则函数的值域为（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数的值域，根据定义求函数的值域.
【详解】因为
，
令，因为，所以，
所以，
因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，.
所以的值域为.
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故选：B.
7．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，