圆锥曲线中的二级结论
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一,知识的综合性较强,因而解题时需要运用多种基础知识,采用多种数学手段,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还要掌握一些常用结论,正确灵活地运用这些结论,一些复杂的问题便能迎刃而解.
一、椭圆、双曲线的焦半径
(1)如图,F1,F2为椭圆x24+y2=1的两焦点,P为椭圆上除长轴端点外的任一点,∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M(m,0),则m的取值范围是(-32,32
解析:(1)设P(x0,y0),则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,由角平分线性质知,|PF1||PF2|=|F1M||MF2|,于是得a+ex0a-ex0=m+cc
(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-7,0),F2(7,0),过F2的直线与C的右支交于A,B两点.若AF2=2F2B,|AB|=|F1B|,则双曲线C的方程为x23
解析:(2)如图,令|F2B|=t,则|AF2|=2t,∴|AB|=3t,|F1B|=3t,又1|AF2|+1|BF2|=2ab2,∴12t+1t=2ab2,即32t=2ab2,又|F1B|-|F2B|=2a,∴3t-t=2a,∴2t=2a,∴t=a,∴32a=2ab2,即3b2=4a2,又c=7,∴
必记结论
1.若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a
2.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=-a
3.焦半径的数量关系式:直线l过焦点F与椭圆(双曲线)相交于A,B两点,则1|AF|+1
二、椭圆、双曲线的焦点弦
(1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为(C)
A.x22+y2=1 B.x23
C.x24+y23=1 D.x
解析:(1)由题意知,|AB|=3=2b2a,又c=1,解得a=2,b2=3,所以椭圆C的方程为x24
(2)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作垂直于x轴的直线,交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB为等腰直角三角形,则双曲线的离心率
解析:(2)由题意知,|AB|=2b2a,又△OAB为等腰直角三角形,可得c=b2a,即ac=c2-a2,可得e2-e-1=0,e>1,
必记结论
1.在椭圆中,焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin=2b
2.在双曲线中,同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为2b2a,异支的弦中最短的为实轴,其长为
三、圆锥曲线的垂径定理
(1)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为M(-12,-15),则E的方程为(B)
A.x23-y26=1 B.x
C.x26-y23=1 D.x
解析:(1)由题意可知kAB=-15-0-12-3=1,kMO=-15-0-12-0=54,由双曲线的垂径定理得kMO·kAB=b2a2,即54=b2a2,又9=a2+b
(2)设过点P(0,32)的直线l与椭圆x23+y2=1交于M,N两点,点B为该椭圆的下顶点且|BM|=|BN|,则直线l的方程为y=±63x
解析:(2)设弦MN的中点E的坐标为(m,n),连接OE,BE.由椭圆的“垂径定理”与已知条件,有kBE·kPE=-1,kOE·kPE=-13,于是n+1m·n-32m-0=-1,nm·n-32m-0=-13.解得m=±62,n=12.于是直线l的方程为y=±63x+32.由于(±62)23+(
必记结论
1.若AB是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM·kAB=e
2.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM·kAB=e
四、圆锥曲线的第二定义
(1)双曲线x2-y23=1的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2∶1,则点P的坐标为(32,±152
解析:(1)设点P(x0,y0)(x0>0),双曲线的左准线为l1:x=-12,右准线为l2:x=12,则点P到l1,l2的距离分别为d1=x0+12,d2=x0-12.所以|PF1||PF2|=d1d2=x0+12x0-12=21
(2)已知点A(-2,3),设点F为椭圆x216+y212=1的右焦点,点M为椭圆上一动点,则|MA|+2|MF|的最小值为
解析:(2)如图,过点A作右准线