进阶篇导数中的零点问题
进阶1零点个数问题
分值：28分
1.(13分)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)=ex-sinx-1.
(1)讨论函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性；(4分)
(2)证明函数f(x)在区间(-π，0]内有且仅有两个零点.(9分)
2.(15分)(2024·绍兴模拟)已知函数f(x)=ax+(a-2)x-12lnx，a∈R
(1)求函数f(x)图象上一点P(1，4)处的切线方程；(4分)
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1x2)，求a的取值范围.(11分)
答案精析
1.(1)解函数f(x)=ex-sinx-1，
当x0时，f(x)=ex-cosx1-cosx≥0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)证明由(1)知，f(x)=ex-cosx，
当x∈?π，?π2时，f(x)
函数f(x)单调递增，
f(-π)=e-π-10，
f??π2=e
因此函数f(x)在?π，?π
当x∈?π
令g(x)=ex-cosx，
得g(x)=ex+sinx，
g(x)在?π
g?π2=e?π2-10，g
则存在x0∈?π2，0，使得g(x
当x∈?π2，x0时，g
函数g(x)即f(x)单调递减，
当x∈(x0，0)时，g(x)0，
函数g(x)即f(x)单调递增，
又f???π2=e
f(x0)f(0)=0，
则存在x1∈?
使得f(x1)=0，
当x∈?π2，x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈(
f(x)0，函数f(x)单调递减，
而f??π2=e?π20，f
因此函数f(x)在?π
所以函数f(x)在区间(-π，0]内有且仅有两个零点.
2.解(1)由f(1)=2a-2=4，
解得a=3，
∴f(x)=3x+x-12lnx
则f(x)=3+12x-12x，则f
∴切线方程为y-4=3(x-1)，
即y=3x+1.
(2)由f(x)=ax+(a-2)x-12lnx
得f(x)=a+a?22x-
=(ax?1)(2
当a≤0时，f(x)0在(0，+∞)上恒成立，
f(x)在(0，+∞)上单调递减，不符合题意，舍去；
当a0时，令f(x)0，得0x1a2，f(x
令f(x)0，得x1a2，f(x)在
当x→0时，f(x)→+∞，
当x→+∞时，f(x)→+∞，
则f?1a2=1a+a?2a-12ln1a2=1a+1-2a
令g(a)=1-1a+lna，a0
则g(a)=1a2+1
∴g(a)在(0，+∞)上单调递增.
又∵g(1)=0，∴当a∈(0，1)时，g(a)0，当a∈(1，+∞)时，g(a)0，
∴0a1，∴a的取值范围是(0，1)