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文件名称:第十章 §10.2 二项式定理.docx
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更新时间:2025-06-13
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§10.2二项式定理

分值:100分

一、单项选择题(每小题5分,共30分)

1.二项式x?2x

A.-80 B.80 C.-10 D.10

2.若实数a=2-2,则a12-2C121a11+22C122a10-

A.-32 B.32 C.-64 D.64

3.(x-2y)(2x-y)5的展开式中的x3y3的系数为()

A.-200 B.-120 C.120 D.200

4.(2024·南京模拟)(x2?x+y

A.30 B.-30 C.20 D.-20

5.已知(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,则a1+a2+3a322+4a423+

A.215 B.216 C.217 D.218

6.在x?1xn

A.第4项 B.第5项

C.第6项 D.第3项

二、多项选择题(每小题6分,共12分)

7.已知2x

A.n=7

B.展开式的各项系数之和是-1

C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大

D.展开式中无常数项

8.已知f(x)=(2x-m)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,若a0+a12+a222

A.m=1

B.a3=160

C.f(3)除以6所得余数为5

D.a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7=14

三、填空题(每小题5分,共10分)

9.(2025·榆林模拟)已知二项式x3+1xn

10.(x+2)(1-2x)5的展开式中x3的系数为.(用数字作答)?

四、解答题(共27分)

11.(13分)已知ax2

(1)求n和a的值;(3分)

(2)求展开式中x-4项的系数;(4分)

(3)求2x?1

12.(14分)已知x?axn(n∈

(1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大,求n的值;(3分)

(2)当n=6时,二项式的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,求a的值;(5分)

(3)当n=6,a=-2时,求二项式的展开式中系数最大的项.(6分)

13,14,16题每小题5分,15题6分,共21分

13.已知(1+x)x+1x2n(n∈N*

A.6 B.7 C.8 D.9

14.(2024·沈阳模拟)已知a=1.20.1,b=1.10.2,c=1.02,则下列大小关系正确()

A.acb B.cba C.cab D.bca

15.(多选)(2024·株洲模拟)设(5+2)2n+1(n∈N*)的整数部分为

A.数列{an+bn}是等比数列

B.数列{an}是递增数列

C.bn(an+bn)=1

D.(1-bn)(an+bn)=1

16.a1,a2,…,a10是一个1,2,3,…,10的排列,要求ai-1和ai+1一定有一个大于ai(i=2,3,…,9),则满足的排列的总数为.?

答案精析

1.A2.D3.A

4.D[从5个含有x2,-x,y的括号中,其中1个括号中取x2,1个括号中取-x,3个括号中取y,乘在一起构成x3y3这一项,这一项为C51·x2·C41·(-x)·C33·y3=-20x3y3,所以x3

5.D[对(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8两边求导,

得16(2x+3)7=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6+8a8x7.

令x=12,得a1+a2+3a322+4a423+5a524

6.A[由x?1xn

当0x1时,x1

则x?1

其展开式的通项为Tr+1=Cnr1xn?r(-x)

令3r?n2=3,(-1)

解得n=6,r=4;

当x≥1时,x≥1

则x?1

其展开式的通项为Tk+1

=Cnkxn-k?1xk=

令n-3k2=3,(-1)kC

解得n=6,k=2.

综上所述,n=6,所以展开式共有7项,展开式中二项式系数最大的项是第4项.]

7.ACD[由题意可知2n=128,则n=7,故A正确;

令x=1,则2×1?1127

因为n=7,所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大,即第4,5项二项式系数最大,分别为C73,

2x?1x27展开式的通项为Tk+1=C7k·(2x)7-k·(?x?2)k=C7k·27-k·(-1)k·x7-3k(k∈Z,

8.ACD[令x=32,得f32=(3-m)7=a0+a12+a222+…+

令x-1=t,所以(2t+1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7,所以a3=C7423=280,所以

由A知f(x)=(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,所以f(3)=(6-1)7=C70·67-C71·66+C72·65-…+C76·6-C77,

由(2t+1)7=a0