§10.2二项式定理
分值:100分
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
1.二项式x?2x
A.-80 B.80 C.-10 D.10
2.若实数a=2-2,则a12-2C121a11+22C122a10-
A.-32 B.32 C.-64 D.64
3.(x-2y)(2x-y)5的展开式中的x3y3的系数为()
A.-200 B.-120 C.120 D.200
4.(2024·南京模拟)(x2?x+y
A.30 B.-30 C.20 D.-20
5.已知(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,则a1+a2+3a322+4a423+
A.215 B.216 C.217 D.218
6.在x?1xn
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第3项
二、多项选择题(每小题6分,共12分)
7.已知2x
A.n=7
B.展开式的各项系数之和是-1
C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D.展开式中无常数项
8.已知f(x)=(2x-m)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,若a0+a12+a222
A.m=1
B.a3=160
C.f(3)除以6所得余数为5
D.a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7=14
三、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2025·榆林模拟)已知二项式x3+1xn
10.(x+2)(1-2x)5的展开式中x3的系数为.(用数字作答)?
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知ax2
(1)求n和a的值;(3分)
(2)求展开式中x-4项的系数;(4分)
(3)求2x?1
12.(14分)已知x?axn(n∈
(1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大,求n的值;(3分)
(2)当n=6时,二项式的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,求a的值;(5分)
(3)当n=6,a=-2时,求二项式的展开式中系数最大的项.(6分)
13,14,16题每小题5分,15题6分,共21分
13.已知(1+x)x+1x2n(n∈N*
A.6 B.7 C.8 D.9
14.(2024·沈阳模拟)已知a=1.20.1,b=1.10.2,c=1.02,则下列大小关系正确()
A.acb B.cba C.cab D.bca
15.(多选)(2024·株洲模拟)设(5+2)2n+1(n∈N*)的整数部分为
A.数列{an+bn}是等比数列
B.数列{an}是递增数列
C.bn(an+bn)=1
D.(1-bn)(an+bn)=1
16.a1,a2,…,a10是一个1,2,3,…,10的排列,要求ai-1和ai+1一定有一个大于ai(i=2,3,…,9),则满足的排列的总数为.?
答案精析
1.A2.D3.A
4.D[从5个含有x2,-x,y的括号中,其中1个括号中取x2,1个括号中取-x,3个括号中取y,乘在一起构成x3y3这一项,这一项为C51·x2·C41·(-x)·C33·y3=-20x3y3,所以x3
5.D[对(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8两边求导,
得16(2x+3)7=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6+8a8x7.
令x=12,得a1+a2+3a322+4a423+5a524
6.A[由x?1xn
当0x1时,x1
则x?1
其展开式的通项为Tr+1=Cnr1xn?r(-x)
令3r?n2=3,(-1)
解得n=6,r=4;
当x≥1时,x≥1
则x?1
其展开式的通项为Tk+1
=Cnkxn-k?1xk=
令n-3k2=3,(-1)kC
解得n=6,k=2.
综上所述,n=6,所以展开式共有7项,展开式中二项式系数最大的项是第4项.]
7.ACD[由题意可知2n=128,则n=7,故A正确;
令x=1,则2×1?1127
因为n=7,所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大,即第4,5项二项式系数最大,分别为C73,
2x?1x27展开式的通项为Tk+1=C7k·(2x)7-k·(?x?2)k=C7k·27-k·(-1)k·x7-3k(k∈Z,
8.ACD[令x=32,得f32=(3-m)7=a0+a12+a222+…+
令x-1=t,所以(2t+1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7,所以a3=C7423=280,所以
由A知f(x)=(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,所以f(3)=(6-1)7=C70·67-C71·66+C72·65-…+C76·6-C77,
由(2t+1)7=a0