第2课时导数与函数的单调性
[考试要求]1．能结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导
f′(x)0
f(x)在区间(a，b)上________
f′(x)0
f(x)在区间(a，b)上________
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是________
2．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的______；
第2步，求出导数f′(x)的____；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
[常用结论]
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解．
3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间上恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性． ()
(2)若函数f(x)的图象在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减． ()
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增． ()
(4)函数f(x)＝x－sinx在R上单调递增． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()
ABCD
2．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________．
3．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．
4．(人教A版选择性必修第二册P87例3改编)已知函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________．
考点一不含参数的函数的单调性
[典例1](1)(多选)(2025·重庆沙坪坝区模拟)下列函数在定义域上为增函数的是()
A．f(x)＝xlnx B．f(x)＝lnx＋x
C．f(x)＝x－cosx D．f(x)＝x2ex
(2)函数f(x)＝lnx
[听课记录]
利用导函数求函数单调区间的注意点
(1)先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．
(2)正确求导函数．
(3)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号．
(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，要用“，”“和”隔开．
[跟进训练]
1．(多选)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则g(x)＝exf
A．在区间(0，1)上单调递增
B．在区间(1，4)上单调递减
C．在区间1，4
D．在区间43
考点二含参数的函数的单调性
[典例2]已知函数f(x)＝ex?ax－alnx(a∈R)，讨论
[听课记录]