第3课时导数与函数的极值、最值
[考试要求]1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________________，右侧________________．则__叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________________，右侧________________．则__叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．
提醒：①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的____；
②将函数y＝f(x)的各极值与____________________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[常用结论]
1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大． ()
(2)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点． ()
(3)函数的极大值一定是函数的最大值． ()
(4)函数在某区间上的极大值是唯一的． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)已知函数f(x)＝lnxx，则f(
A．－e B．1e
C．1 D．0
3．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．
4．(人教A版选择性必修第二册P98T6改编)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈?13，1，则f
考点一利用导数研究函数的极值
根据函数的图象判断函数的极值
[典例1](2025·江苏常州模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()
A．f(x)有极小值f(6)，极大值f(1)
B．f(x)仅有极小值f(6)，极大值f(10)
C．f(x)有极小值f(1)和f(6)，极大值f(3)和f(10)
D．f(x)仅有极小值f(1)，极大值f(10)
[听课记录]
求已知函数的极值
[典例2]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)当a＝12时，求f(x
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
[听课记录]