利用导数解决恒(能)成立问题
【思维突破妙招】利用导数解决恒(能)成立问题的思路：①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算．在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”．依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界．
技法一单变量不等式恒成立问题
[典例1]已知函数f(x)＝lnx?ax(a∈R)．若a≥0，不等式x2f(x)＋a≥2－e对任意x∈(0，＋∞
[四字解题]
读
想
算
思
x2f(x)＋a≥2－e对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围
恒成立问题的解法
函数最值法
求导研究有关函数的单调性，并求其最值
分类
讨论分离参数法
结合x的范围，计算xln
转化
化归数形结合法
把原题转化为g(x)＝xlnx与h(x)＝a(x－1)＋(2－e)两图象间的关系，借助图象求解
借助图象分析
[听课记录]
导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类．
[跟进训练]
1．(2024·安徽安庆二模节选)已知函数f(x)＝2lnx－x＋mx(m∈R)，若不等式f(x)≤0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．
技法二单变量不等式能成立问题
[典例2]已知函数f(x)＝ex－x，若对任意x0，f(x)12ax2＋1有解，求a
[听课记录]
能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中的等价转化有以下几种形式：
(1)存在x∈[a，b]，f(x)≥a成立?f(x)max≥a．
(2)存在x∈[a，b]，f(x)≤a成立?f(x)min≤a．
(3)存在x1∈[a，b]，对任意x2∈[a，b]，f(x1)≤g(x2)成立?f(x)min≤g(x)min．
[跟进训练]
2．已知函数f(x)＝x2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若存在x0，使得f(x)≤ax成立，求实数a的取值范围．
技法三双变量不等式恒(能)成立问题
[典例3]设f(x)＝ax＋xlnx，g(x)＝x3－x2
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，求实数
[听课记录]