“ex≥1＋x”“x－1≥lnx，x∈(0，＋∞)”“sinxxtanx，x∈0，π2”这三个不等式，均源自教材习题，其中人教A版必修第一册P256T26仅展示了sinx及cosx的泰勒公式，熟知ex，lnx，sinx及cos
1．几个常见函数的泰勒公式
(1)ex＝1＋x＋x22！+
(2)11?x＝1＋x＋x2＋x3＋
(3)ln(1＋x)＝x－x22+
(4)cosx＝1－x22！+
(5)sinx＝x－x33！+
2．两个超越不等式
从泰勒公式中截取片段就构成了常见的不等式：
总结如下(注意解答题需先证明后使用)：
(1)对数型超越放缩：x?1x≤lnx≤x－1(
(2)指数型超越放缩：x＋1≤ex≤11?x(
命题点一比较大小
[典例1](1)(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，则()
A．abc B．cba
C．cab D．acb
(2)(2022·全国甲卷)已知a＝3132，b＝cos14，c＝4sin1
A．cba B．bac
C．abc D．acb
[听课记录]
几个常用不等式：
(1)x∈(0，1)时，sinx＞ln(x＋1)；
(2)x＞0时，lnx≥1－1x(x
(3)x＞0时，x＞sinx；
(4)x＞1时，lnx＞2x
命题点二证明不等式
[典例2]已知函数f(x)＝xlnxx+m，g(x)＝xex，且曲线y＝f(x)在x
(1)求m，n的值；
[听课记录]
(2)证明：f(x)＞2g(x)－1．
[解](1)由已知得f(1)＝0，∴1－0＋n＝0，解得n＝－1．
∵f′(x)＝lnx
∴f′(1)＝m+11+m2＝
[听课记录]
导数方法证明不等式的问题中，最常见的是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构造函数进行证明．常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．