§3.1导数的概念及其意义、导数的运算
课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f(x0)或y|x
f(x0)=limΔx→
(2)函数y=f(x)的导函数(简称导数)
f(x)=y=limΔ
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=0
f(x)=xα(α∈R，且α≠0)
f(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f(x)=cosx
f(x)=cosx
f(x)=-sinx
f(x)=ax(a0，且a≠1)
f(x)=axlna
f(x)=ex
f(x)=ex
f(x)=logax(a0，且a≠1)
f(x)=1
f(x)=lnx
f(x)=1
4.导数的运算法则
若f(x)，g(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)；
[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)；
f(x)g(x)=f(
[cf(x)]=cf(x).
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx=yu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(×)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)
(3)f(x0)=[f(x0)].(×)
(4)(e-x)=-e-x.(√)
2.若函数f(x)=lnx-2x+1，则f12等于(
A.0 B.12 C.32 D
答案A
解析f(x)=1x-2
所以f12=2-2=0
3.(2025·开封模拟)已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为()
A.x-y-1=0 B.x-y+1=0
C.x·ln2-y-1=0 D.x·ln2-y+1=0
答案D
解析函数f(x)=2x，求导得f(x)=2xln2，则f(0)=ln2，而f(0)=1，所以所求切线方程为y-1=ln2·(x-0)，即x·ln2-y+1=0.
4.设曲线y=e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a的值为.?
答案-1
解析∵y=e2ax，∴y=e2ax·(2ax)=2a·e2ax，
∴在点(0，1)处的切线斜率k=y|x=0=2ae0=2a，
又∵切线与直线2x-y+1=0垂直，
∴2a×2=-1，∴a=-14
1.巧记两个常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.
(2)函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
2.明确两点不同
区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
3.谨防两个易误点
(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.
(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.
题型一导数的运算
例1(1)(多选)下列求导运算正确的是()
A.(ln7)=1
B.[(x2+2)sinx]=2xsinx+(x2+2)cosx
C.x2ex
D.[ln(3x+2)]=1
答案BC
解析(ln7)=0，故A错误；
[(x2+2)sinx]=2xsinx+(x2+2)cosx，故B正确；
x2ex=2xe
[ln(3x+2)]=33x+2，故
(2)(2024·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2f(2)x-34x2+lnx，则f(1)=
答案9
解析由函数f(x)=2f(2)x-34x2+lnx，可得f(x)=2f(2)-32x+
令x=2，可得f(2)=2f(2)-3+12，解得f(2)=52，所以f(x)=5x-34x2+lnx，可得f(x)=5-32x+1x，所以f(1)
思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、