§4.8正弦定理、余弦定理
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，sinA=12，则sinB
A.34 B.
C.13 D.
2.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB
A.19 B.
C.12 D.
3.(2024·长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c=2∶3∶4，则sinA
A.12 B.-12 C.2
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A2+b2c=12
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5.(2024·榆林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2=(a+c)2-42，B=π4，则△ABC
A.2-2 B.4-22
C.2+2 D.4+22
6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且c-2b+23cosC=0，则该三角形外接圆的半径为()
A.1 B.3 C.2 D.23
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是()
A.A=π4，b=1，c
B.B=2π3，b=1，c
C.A=π6，b=3，a=
D.B=π4，b=3，a
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()
A.若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形
B.若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形
C.若acosA=bcosB=c
D.若B=60°，b2=ac，则△ABC是直角三角形
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·开封模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=23，a=3b，则cosA=
10.(2024·成都模拟)在△ABC中，AC=1，∠ACB=π4，延长BA到点D，使得AD=2，∠ADC=π6，则AB的长为
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2.
(1)求A；(5分)
(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周长.(8分)
12.(14分)(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=π3，∠DAC=π4，BD交AC
(1)求BD2；(7分)(2)求AE.(7分)
13题6分，14~16题每小题5分，共21分
13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=10，a2+b2-c2=absinC，acosB+bsinA=c，则下列结论正确的是()
A.tanC=2 B.A=π4 C.b=2 D.△ABC
14.在△ABC中，sin(B-A)=14，2a2+c2=2b2，则sinC等于(
A.23 B.32 C.12
15.已知△ABC的面积S=14(b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为
16.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=12(cb)2?c2+b2?a222.根据此公式，若acosB+(b-2c)cosA=0，且
答案精析
1.A2.A3.C
4.A[∵sin2A2+b2
∴1?cosA2=12-b2c，
∵cosA=b2+
∴b2+c2-a2=2b2，∴b2+a2=c2，
∴△ABC为直角三角形，且C=90°.]
5.A[因为b2=(a+c)2-42=a2+c2+2ac-42，所以a2+c2-b2=42-2ac
因为B=π4
cosB=22=a2
所以ac=42-4，
故△ABC的面积
S=12acsinB=12(42-4)
=2-2.]
6.A[∵a=3，∴c-2b+2acosC=0
∴sinC-2sinB+2sinAcosC=0，
∴sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0，
∴sinC-2sinAcosC-2sinCcosA+2sinAcosC=0，
∴sinC-2sinCcosA=0，
∵sinC0，∴cosA=1
∵A∈(0，π)，∴A=π
设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得asinA=33
∴r=1.]
7.CD[对于A，因为两边及