§3.3导数与函数的单调性(二)
课标要求1.会根据函数的单调性求参数的范围.2.会利用函数的单调性解不等式、比较大小.
题型一根据单调性求参数范围
例1已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x(a≠0)
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
解(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，f(x)=1x-ax-2≤0恒成立，即a≥1x2-
设G(x)=1x2-2x，x∈[1
所以a≥G(x)max，
而G(x)=1x?1
因为x∈[1，4]，所以1x∈1
所以G(x)max=-716(此时x=4
所以a≥-716
又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是?716，0∪(0，+
(2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则f(x)0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a1x2-
又当x∈[1，4]时，1x2?2x
所以a-1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞).
思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)≥0(或f(x)≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集.
跟踪训练1(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为()
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
答案C
解析依题可知，f(x)=aex-1x≥0在(1，2)上恒成立，显然a0
所以xex≥1a在(1，2
设g(x)=xex，x∈(1，2)，
所以g(x)=(x+1)ex0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)g(1)=e，故e≥1a
即a≥1e=e-1，即a的最小值为e-1
(2)(2025·沧州模拟)若函数f(x)=2x-3x-tlnx在(1，3)上不单调，则实数t的取值范围是(
A.(26，7) B.(7，+∞)
C.[7，+∞) D.[26，7]
答案A
解析函数f(x)=2x-3x-tlnx，求导得f(x)=2+3x2
依题意，f(x)在(1，3)上有变号零点，由f(x)=0，得t=2x+3x
函数t=2x+3x在1，62上单调递减，26t5；在62，3上单调递增，26t7，所以实数t的取值范围是(2
题型二利用单调性比较大小
例2(1)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则()
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0x1时，f(x)f(x2)
C.当1x2时，-4f(2x-1)0
D.当-1x0时，f(2-x)f(x)
答案ACD
解析对于A，因为函数f(x)的定义域为R，
f(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2
=3(x-1)(x-3)，
易知当x∈(1，3)时，f(x)0；
当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f(x)0，
所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，
在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，
故x=3是f(x)的极小值点，故A正确；
对于B，当0x1时，
x-x2=x(1-x)0，所以1xx20，
由A选项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，
所以f(x)f(x2)，故B错误；
对于C，当1x2时，12x-13，
由A选项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，
所以f(1)f(2x-1)f(3)，
即-4f(2x-1)0，故C正确；
对于D，当-1x0时，
f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)0，
所以f(2-x)f(x)，故D正确.
(2)若a=14ln14，b=23ln23，c=-1
A.cba B.bca
C.cab D.bac
答案C
解析因为c=-1e=1eln1e，a=14ln14=12ln12，构造函数f(x)=xlnx，x
则f(x)=lnx+1，令f(x)0，解得x1e
令f(x)0，解得0x1e
可得f(x)在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增，且1
所以c=f?1ea=f?12b=f?
即cab.
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
典例(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有x1f(x1)?x2f(x2)x1?x2
A.f(x)=ex B.f(x)=x2
C.f(x)=lnx D.f(