§3.4导数与函数的极值
课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会利用极值点(极值)求参数.
1.函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2.函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(√)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(×)
(3)单调函数没有极值.(√)
(4)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(√)
2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()
A.1 B.2
C.3 D.4
答案A
解析由导函数f(x)的图象知，
在x=-2处，f(-2)=0，且其两侧导数f(x)的符号为左正右负，所以-2是f(x)的极大值点；
在x=-1处，f(-1)=0，且其两侧导数f(x)的符号为左负右正，所以-1是f(x)的极小值点；
在x=0处，f(0)=0，且其两侧导数f(x)的符号均为正，所以0不是f(x)的极值点；
在x=2处，f(2)=0，且其两侧导数f(x)的符号为左正右负，所以2是f(x)的极大值点.
综上，f(x)的极小值点的个数为1.
3.函数f(x)=x3-12x2-14x的极小值点为，极大值为
答案73
解析由f(x)=x3-12x2-14x
f(x)=3x2-x-14=(x+2)(3x-7)，
令f(x)0，解得x73或x-2
令f(x)0，解得-2x73
故f(x)在(-∞，-2)，73，+∞
故f(x)在x=73处取得极小值，在x=-2
故f(x)极大值=f(-2)=-8-2+28=18.
4.若函数f(x)=x3-ax2+2x-1有两个极值点，则实数a的取值范围是.
答案(-∞，-6)∪(6，+∞)
解析f(x)=3x2-2ax+2，
由题意知f(x)有两个变号零点，
即方程3x2-2ax+2=0有两个不等实根，
∴Δ=(-2a)2-4×3×20，
解得a6或a-6.
解题时灵活应用以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x=x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)f(x0)=0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.例如，f(x)=x3，f(0)=0，但0不是极值点.
题型一根据函数图象判断极值
例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x)=xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(-1)为f(x)的极小值
答案BC
解析根据g(x)=xf(x)的图象，可得当x-2时，g(x)=xf(x)0，
可得f(x)0，即f(x)单调递减，
当-2x0时，g(x)=xf(x)0，
可得f(x)0，即f(x)单调递增，
当0x1时，g(x)=xf(x)0，
可得f(x)0，即f(x)单调递减，
当x1时，g(x)=xf(x)0，
可得f(x)0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x=-2和x=1处取得极小值，在x=0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(-1)不是f(x)的极小值，D错误.
思维升华由图象判断函数y=f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y=f(x)的图象与x轴的交点，可得函数y=f(x)的可能极值点；(2)由导函数y=f(x)的图象可以看出y=f(x)的值的正负，从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
跟踪训练1已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集为()
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.0，12
答案B
解析观察图象可得函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，