午练11导数的综合问题
一、选择题
1.函数f(x)＝(x2－2x)ex的图象大致是()
答案B
解析由题意，得f′(x)＝(x2－2)ex.
令f′(x)＝0，解得f(x)有两个极值点，由此排除A，D项；当x0时，易知f(x)恒为正，由此排除C项.故选B.
2.f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，f′(x)为f(x)的导函数，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，则不等式f(x－1)0的解集为()
A.(0，1)∪(2，＋∞)
B.(－∞，1)∪(1，＋∞)
C.(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案A
解析因为当x∈(0，＋∞)时f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数.而f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0，f(x)在(－∞，0)上为增函数.因为f(1)＝0，
所以f(－1)＝0.
又f(x－1)0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x－1）f（1），,x－10))
或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x－1）f（－1），,x－10))
或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x－1）0，,x－1＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－11，,x－10))
或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1－1，,x－10))或无解，解得x2或0x1，
故不等式f(x－1)0的解集为(0，1)∪(2，＋∞).故选A.
3.若直线y＝2x－1与函数f(x)＝lnx－ax的图象有交点，则实数a的取值范围是()
A.(－∞，－1] B.(－∞，1)
C.[1，＋∞) D.(－2，－1]
答案A
解析因为直线y＝2x－1与函数f(x)＝lnx－ax的图象有交点，所以方程2x－1＝lnx－ax有解，即a＝eq\f(lnx＋1,x)－2在x0上有解.令g(x)＝eq\f(lnx＋1,x)－2(x0)，则g′(x)＝eq\f(－lnx,x2).当0x1时，g′(x)0，函数g(x)单调递增；当x1时，g′(x)0，函数g(x)单调递减.所以当x＝1时，g(x)有极大值也是最大值，g(1)＝－1，易知x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→－2，所以a≤－1，故选A.
4.已知a＝4ln5π，b＝5ln4π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是()
A.abc B.bca
C.bac D.cba
答案A
解析令f(x)＝eq\f(lnx,x)(x≥e)，可得f′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)，
当x≥e时，f′(x)≤0恒成立，
所以f(x)＝eq\f(lnx,x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以f(π)f(4)f(5)，
即eq\f(lnπ,π)eq\f(ln4,4)eq\f(ln5,5)，可得4lnππln4，5ln44ln5，
所以lnπ4ln4π，5πln44πln5，
所以5lnπ45ln4π，5ln4π4ln5π，
即cb，ba，所以abc.
5.(多选)已知函数f(x)＝lnx－eq\f(x＋1,x－1)，下列结论成立的是()
A.函数f(x)在定义域内无极值
B.函数f(x)的图象在点A(2，f(2))处的切线方程为y＝eq\f(5,2)x＋ln2－8
C.函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点
D.函数f(x)在定义域内有两个零点x1，x2，且x1·x2＝1
答案ABD
解析由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0，,x－1≠0，))解得0x1或x1，所以函数f(x)的定义域为
(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(x－1－（x＋1）,（x－1）2)＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,（x－1）2)0，
对于A，因为f′(x)0在(0，1)∪(1，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在定义域内无极值，故A正确.
对于B，因为f′(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,（2－1）2)＝eq\f(5,2)，f(2)＝ln2－eq\f(2＋1,2－1)＝－3＋ln2，所以函数f(x)的图象在点A(2，f(2))处的切线方程为y＋3－ln2＝eq\f(5,2)(x－2)，即y＝eq\f(5,2)x＋ln2－8，故B正确.
对于C，因为f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递增，f(e)＝lne－eq\f(e＋1,e－1)＝1－eq\f(e＋1,e－1)＝eq