§5.3平面向量的数量积
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·葫芦岛模拟)已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(a-b)的值为()
A.4 B.3 C.2 D.0
2.(2025·西安模拟)平面向量a与b的夹角为120°，|a|=2，|b|=3，则|a-2b|等于()
A.28 B.52 C.27 D.213
3.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0θπ)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于()
A.-25 B.-35 C.-45
4.(2025·鞍山模拟)已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量是2b，则a与b夹角的余弦值为()
A.23 B.26 C.22
5.(2024·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，CD=(2-1)BC，AC·AD=62，则
A.6 B.6 C.23 D.32
6.在△ABC中，设|AC|2-|AB|2=2AM·(AC-AB)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()
A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是()
A.(a+b)·c=a·c+b·c
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b≤|a||b|
D.|a-b|≤|a|+|b|
8.已知向量a=(-2，1)，b=(1，t)，则下列说法正确的是()
A.若a∥b，则t的值为-2
B.|a+b|的最小值为1
C.若|a+b|=|a-b|，则t的值为2
D.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是?∞，?
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·西安模拟)已知单位向量e1⊥e2，向量a=λe1-2e2，b=2e1+e2，若a⊥b，则实数λ=.?
10.(2025·汕头模拟)已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且满足4OC=-2OA-3OB，则cos∠AOB=，AB·OA=.?
四、解答题(共26分)
11.(12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，E是BC边的中点
(1)试用AB，AD表示
(2)求DB·AE的值.(6分)
12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AE=λAD，BC=2AB=2AD=2.
(1)若BE⊥AC，求实数λ的值；(7分)
(2)若λ=23，求AC与BE的夹角θ的余弦值.
13，14题每小题6分，15，16题每小题5分，共22分
13.(多选)(2024·广州模拟)已知向量a，b不共线，向量a+b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是()
A.a·b=0 B.(a+b)⊥(a-b)
C.向量a，b在a+b上的投影向量相等 D.|a+b|=|a-b|
14.(多选)已知向量a=(3，1)，b=(cosθ，sinθ)，则下列说法正确的是()
A.存在θ∈0，π2，使得
B.存在θ∈0，π2，使得
C.对于任意θ∈0，π2，a·
D.对于任意θ∈0，π2，|a-b|∈
15.(2024·抚州模拟)定义：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-8，则|a×b|=.?
16.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，点M满足AM=12(AB+AF)，则|AM|=；若点P是线段EC上的动点(包括端点)，则AP·DP的最小值是
答案精析
1.C2.D3.B4.C
5.A[由AB⊥AC，得AB·AC=0，
由CD=BD-BC=(2-1)BC
得BD=2BC
由AC·AD=AC·(AB+BD)
=AC·BD
=2AC·BC=2AC·(AC-
=2|AC
所以|AC|=6，即AC=6.
6.D[设线段BC的中点为D，
则AB+AC=2AD
因为|AC|2-|AB|2=2AM·(AC-AB)，所以(AC+AB)·(AC-AB)=2AM·BC
即2AD·BC=2AM·BC
即BC·(AM-AD)=0，
当AM=AD时，点M和点D重合；
当AM≠AD时，BC·DM=0
即DM⊥BC，
所以DM垂直且平分线段BC，
因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.]
7.ACD[根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；
D中，|