必刷大题6导数的综合应用
1.已知函数f（x）＝13x3＋m2x2－x＋
（1）当m＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在（12，1）上存在单调递减区间，求实数m的取值范围
（3）若f（x）在区间（m，＋∞）上存在极小值，求实数m的取值范围.
解：（1）f（x）＝13x3＋m2x2－x＋16，f（x）＝x2＋mx
因为m＝1，所以f（x）＝13x3＋12x2－x＋16，f（x）＝x2＋x
所以f（1）＝13＋12－1＋16＝0，f（1）＝1＋1－1
所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x－1.
（2）函数f（x）在（12，1）上存在单调递减区间，则有f（x）＜0在区间（12，1）
即m＜1x－x在区间（12，1）
此时令g（x）＝1x－x
显然g（x）在区间（12，1）上单调递减，所以g（x）＜g（12）＝32，故有m
所以实数m的取值范围是（－∞，32
（3）函数在区间（m，＋∞）上存在极小值，则函数f（x）的极小值点应落在（m，＋∞）内，
令f（x）＝x2＋mx－1＝0，得x1＝－m－m2+42
所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；
所以x＝x2是函数f（x）的极小值点，
即得－m＋m2+42＞m
当m≤0时，不等式恒成立；
当m＞0时，m2＋4＞9m2，解得0＜m＜22
所以实数m的取值范围是（－∞，22
2.设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx，f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x－3.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[－1，1]上的单调区间和最值.
解：（1）因为f（x）＝x3＋ax2＋bx，所以f（x）＝3x2＋2ax＋b，
又f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝4x－3，所以f(1
（2）由（1）可知，f（x）＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1），
则当x∈［－1，13）时，f（x）≤0；当x∈（13，1］时，f（x）＞
故f（x）的单调递增区间为（13，1］，单调递减区间为［－1，13
又f（－1）＝1，f（1）＝1，f（13）＝－527
所以f（x）在[－1，1]上的最大值为1，最小值为－527
3.已知函数f（x）＝lnx－（a＋1）x，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）＝f（x）＋x＋1，函数g（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝1x－（a＋1）＝1
当a＋1≤0，即a≤－1时，对任意的x＞0，f（x）＞0，此时函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；
当a＋1＞0，即a＞－1时，由f（x）＞0可得0＜x＜1a+1，由f（x）＜0可得x＞
此时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1a+1），单调递减区间为（1a+1
综上所述，当a≤－1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；
当a＞－1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1a+1），单调递减区间为（1a+1
（2）由g（x）＝f（x）＋x＋1＝lnx－ax＋1＝0，可得a＝lnx+1x，其中x
构造函数h（x）＝lnx+1x，其中x＞0，所以直线y＝a与函数h（x
h（x）＝1?(lnx+1
当0＜x＜1时，h（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
当x＞1时，h（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
所以函数h（x）的极大值为h（1）＝1，且当x＞1e时，h（x）＞0，图象如图所示
由图可知，当0＜a＜1时，直线y＝a与函数h（x）的图象有两个交点，
因此，实数a的取值范围是（0，1）.
4.已知函数f（x）＝kx－lnx－k，k∈R
（1）讨论函数f（x）在区间（1，e）内的单调性；
（2）若函数f（x）在区间（1，e）内无零点，求k的取值范围.
解：（1）∵f（x）＝kx－lnx－k，k∈R，x∈（1，e），
∴f（x）＝－kx2－1x
①当－k≤1，即k≥－1时，x＋k≥x－1＞0，
∴f（x）＜0，∴f（x）在（1，e）上单调递减；
②当－k≥e，即k≤－e时，x＋k≤x－e＜0，
∴f（x）＞0，∴f（x）在（1，e）上单调递增；
③当1＜－k＜e，即－e＜k＜－1时，当1＜x＜－k时，f（x）＞0，f（x）单调递增；
当－k＜x＜e时，f（x）＜0，f（x）单调递减；
综上所述，①当k≥－1时，f（x）在（1，e）上单调递减；
②当k≤－e时，f（x）在（1，e）上单调递增；
③当－e＜k＜－1时，f（x）在（1，－k）上单调递增，在（－k，e）上单调递减.
（2）由（1）知：当k≥－1时，f（x）＜f（1）＝0，
即f（x）＜0，∴f（x）在（1，e）内无零点，
当k≤－e时，f（x）＞f（1