培优点10极点、极线
重点解读“极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的是以“极点、极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向.
题型一极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点.
例1(多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是()
A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2＋y2＝r2，则关于点P的极线方程为x0x＋y0y＝r2
B.已知点P(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab
C.对于双曲线x2a2－y2b2＝1，与点P(x0
D.对于抛物线y2＝2px，若点Pp2
答案ABD
解析对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C的外部，
两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，
两条切线的方程分别为xix＋yiy＝r2(i＝1，2)，
∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1＋y0y1＝r2，
x0x2＋y0y2＝r2，
∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x＋y0y＝r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x＋y0y＝r2，A正确；
对于B，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为
A(x3，y3)，B(x4，y4)，两条切线的方程分别为
lPA：x3xa2＋y3yb2
∵P(x0，y0)在切线上，∴x
即点A(x3，y3)，B(x4，y4)均满足x0xa
故切点弦AB所在直线方程，即为点P相应的极线方程，为x0xa2＋
对于C，证明方法同椭圆，
可得极线方程为x0xa2－
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D正确.
思维升华(1)一般地，若圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M的切点弦(极线)的方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以x0y＋y0x2替换xy，以y0y替换y2，以x0＋x2替换x，以y0＋
(3)从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH并延长，延长线交于M，则直线MN为点P对应的极线.
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.
跟踪训练1过椭圆C：x225＋y29＝1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q
答案3x25
解析方法一由题意知直线PQ为点M关于椭圆C的极线，所以直线PQ的方程为3x25
方法二由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则直线AB为点P关于椭圆C的极线，
其方程为x1x
又M(3，2)在直线AB上，
所以3x125＋2
同理3x225＋2
由①②可得直线PQ的方程是3x25
题型二极点与极线的性质及应用
例2在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，已知椭圆x29＋y25＝1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m0，y
(1)设动点P满足|PF|2－|PB|2＝4，求点P的轨迹；
(2)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)，并求出该定点的坐标.
解(1)由题设得，A(－3，0)，B(3，0)，F(2，0)，
设动点P(x，y)，
由|PF|2＝(x－2)2＋y2，
|PB|2＝(x－3)2＋y2，|PF|2－|PB|2＝4，
代入化简得x＝92.故点P的轨迹为直线x＝9