第1课时直线的方程
[考试要求]1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
1．直线的方向向量
(1)设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，_________与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_______________．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝____．
4．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
___________________
不含直线x＝x0
斜截式
__________
不含垂直于x轴的直线
两点式
________
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
___________
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
___________________________
平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：①“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
②研究直线，首先要考虑直线斜率是否存在．
[常用结论]
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
α
0≤απ
π
π2＜α
k
k≥0
不存在
k0
2．特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0；
(2)y轴：x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)．
4．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝nm
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α． ()
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ()
(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示． ()
(4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0)． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是()
A．1B．－1C．2D．－2
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T1改编)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为()
A．y＝－33x－1 B．y＝－33
C．y＝3x－1 D．y＝3x＋1
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________．
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
考点一直线的倾斜角与斜率
[典例1](1)(2025·湖南长沙模拟)设点A(4，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－4
C．－4≤k≤1 D．－43≤k≤
(2)(2024·黄浦区校级三模)直线(a2＋1)x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是()
A．0，π4
C．π4，3π4 D．
[听课记录]_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________