圆锥曲线的切线和切点弦
1.圆锥曲线的切线和切点弦
（1）切线方程：过圆锥曲线Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0（A，C不全为0）上的点M（x0，y0）的切线方程为Axx0＋Cyy0＋Dx＋x02＋Ey＋
（2）切点弦方程：当M（x0，y0）在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为Axx0＋Cyy0＋Dx＋x02＋Ey＋
2.圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点M（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2；
（2）设P（x0，y0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1上的点，则过该点的切线方程为
（3）设P（x0，y0）为双曲线x2a2－y2b2＝1上的点，则过该点的切线方程为
（4）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px上的点，则过该点的切线方程为yy0＝p（x＋x0）；
（5）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2外一点，则切点弦的方程为xx0＋yy0＝r2；
（6）设P（x0，y0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A，B，则弦AB的方程为
（7）设P（x0，y0）为双曲线x2a2－y2b2＝1外一点，过该点作双曲线的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为
（8）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px开口外一点，则切点弦的方程为yy0＝p（x＋x0）.
一、圆锥曲线中的切线问题
（1）已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），抛物线C2：y2＝4x，C1与C2在第一象限的交点为P，且C1和C2在点P处的切线斜率之积为－14，则C1
A.12 B.3
C.14 D.
解析：（1）设P（x0，y0），抛物线在点P处的切线方程为y0y＝2（x＋x0），椭圆x2a2＋y2b2＝1在点P处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1，则有2y0·（－b2x0a2y0）＝－
（2）在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x23＋y2＝1，P为椭圆C上的动点，直线l的方程为x＋y＝4，则点P到直线l的距离d的最小值为2
解析：（2）令x＋y＝k与椭圆x23＋y2＝1相切，消去x整理得4y2－2ky＋k2－3＝0，所以Δ＝4k2－16（k2－3）＝12（4－k2）＝0，可得k＝±2，显然x＋y＝4与椭圆无交点，当k＝－2，切线为x＋y＝－2，与x＋y＝4距离为62＝32；当k＝2，切线为x＋y＝2，与x＋y＝4的距离为22＝2，所以点P到直线l的距离
二、圆锥曲线中的切点弦问题
（1）已知抛物线C：x2＝－2py（p＞0）的焦点F与y28＋x24＝1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦｜AB｜＝（
A.16B.26 C.14D.24
（2）已知P（1，1）是双曲线x2－y22＝1外一点，过P引双曲线的两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB的方程为2x－y－2＝0
解析：（1）由题意可得，F（0，－2），则p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝p2＝2.由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx－2，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝－x128，y2＝－x228，由y＝－x28，得y＝－x4.∴在点A处的切线方程为y－y1＝－x14（x－x1），化简得y＝－x14x＋x128①，同理可得在点B处的切线方程为y＝－x24x＋x228②，联立①②得xM＝x1＋x22，由M的横坐标为4，得x1＋x2＝8，将AB的方程代入抛物线方程，可得x2＋8kx－16＝0，∴Δ＝64k2＋64＞0，x1＋x2＝－8k＝8，得k＝－1，∴y1＋y2＝k（x1＋x2）－4＝－1×8－4＝－12，则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝
（2）如图所示，
法一根据题意，设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），根据结论：若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上，则过点P0的双曲线的切线方程是x0xa2－y0yb2＝1.则可得切线PA，PB的方程分别为x1x－y1y2＝1，x2x－y2y2＝1.又因为P（1，1）在切线上，可得x1－y12＝1，x2－y22＝1.因此A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x－
法二可直接利用结论：若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）外，过点P0作双曲线的两条切线，切点为点P1，P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2－y0yb2＝1，可得直线AB的方程为x－
1.已知P是椭圆x2＋y24＝1上的动点，则点P到直线l：x＋y－35＝0的距离的最小值为（
A.52 B.
C.5 D.10
解析：D设与直线l平