重难专攻（五）函数与导数中的新定义问题
【重点解读】函数与导数中的新定义问题通常涉及三种类型：定义新概念、定义新运算、定义新性质.解决函数与导数中的新定义问题的首要任务是深入理解这些“新颖的定义”，随后依据这些定义来解答问题.在理解过程中，借助类比的方式有助于深化对新定义的认识，尽管新定义的外表可能颇具挑战，但其实质仍旧根植于数学的基础知识中，因此，扎实掌握数学的基本原理，灵活运用已学过的知识、思想、方法，是解决此类问题的关键.
提能点1
定义新概念
（2025·深圳调研）设函数f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x0∈（0，1），使得f（x）在[0，x0]上是严格增函数，在[x0，1]上是严格减函数，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x0称为峰点，[0，1]称为含峰区间.
（1）判断下列函数中，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：f1（x）＝2x－x2，f2（x）＝1－｜4x－1｜；
解：∵f1（x）＝2x－x2，∴f1（x）＝2－2x，
∴当f1（x）＝2－2x＝0时，x＝1?（0，1），
故f1（x）＝2x－x2在[0，1]上不是单峰函数.
∵f2（x）＝1－｜4x－1｜，∴当x∈［0，14］时，f2（x）＝4x，∴f2（x）＝4＞0
∴f2（x）＝1－｜4x－1｜在［0，14］上是严格增函数
当x∈［14，1］时，f2（x）＝2－4x，∴f2（x）＝－4＜0
∴f2（x）＝1－｜4x－1｜在［14，1］是严格减函数
而f2（14）＝1－｜4×14－1｜＝
故f2（x）＝1－｜4x－1｜在[0，1]上是单峰函数，峰点是14
（2）若函数f（x）是区间[0，1]上的单峰函数，证明：若存在x1，x2∈（0，1），x1＜x2，使得f（x1）≥f（x2），则[0，x2]为含峰区间；使f（x1）≤f（x2），则[x1，1]为含峰区间；
证明：∵函数f（x）是区间[0，1]上的单峰函数，
∴?x0∈（0，1），使得f（x）在[0，x0]上是严格增函数，在[x0，1]上是严格减函数，
又∵存在x1，x2∈（0，1），x1＜x2，使得f（x1）≥f（x2），
∴x0∈[0，x2]，即[0，x2]为含峰区间，
又∵存在x1，x2∈（0，1），x1＜x2，使得f（x1）≤f（x2），
∴x0∈[x1，1]，即[x1，1]为含峰区间.
（3）若函数f（x）＝2a（x＋2）3－x－1是区间[0，1]上的单峰函数，求实数a的取值范围.
解：∵f（x）＝2a（x＋2）3－x－1是区间[0，1]上的单峰函数，
∴?x0∈（0，1），使得f（x）在[0，x0]上是严格增函数，在[x0，1]上是严格减函数，
∴f（x）＝6a（x＋2）2－1在[0，x0]上大于零，在[x0，1]上小于零，
若a≤0，则f（x）＜0，
故不存在x0∈（0，1），使得f（x）＝6a（x＋2）2－1在[0，x0]上大于零，在[x0，1]上小于零；
若a＞0，则f（x）＝6a（x＋2）2－1在[－2，＋∞）单调递增，
故不存在x0∈（0，1），使得f（x）＝6a（x＋2）2－1在[0，x0]上大于零，在[x0，1]上小于零，
∴实数a的取值范围为空集.
规律方法
对于函数与导数中“新概念”类的创新问题，弄清“新概念”是关键，然后“照章办事”，与已学过的知识进行合理联想，即可解决问题.
提能点2
定义新运算
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝｜f″
（1）求曲线f（x）＝lnx在点（1，0）处的曲率；
解：（1）因为f（x）＝lnx，则f（x）＝1x，f″（x）＝－1
所以K＝｜f″（1)|
（2）已知函数g（x）＝cosx＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最大值；
解：（2）因为g（x）＝cosx＋1（x∈R），则g（x）＝－sinx，g″（x）＝－cosx，
所以K＝｜g″（
则K2＝cos2x
令t＝2－cos2x，则t∈[1，2]，K2＝2－
设p（t）＝2－tt3，则p（t）＝
显然当t∈[1，2]时，p（t）＜0，p（t）单调递减，
所以p（t）max＝p（1）＝1，所以K2的最大值为1.
（3）函数h（x）＝（x－2）ex＋（3+m2－x3－lnx）x2，若h（x）在两个不同的点处曲率为0，求实数
解：（3）因为h（x）＝（x－2）ex＋（3+m2－x3－lnx）x2，x
所以h（x）＝（x－1）ex＋（3＋m）x－x2－（x＋2xlnx），
所以h″（x）＝xex－2（lnx＋x）