§10.3二项式定理
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.二项式x-2x5的展开式中1
A.-80 B.80 C.-10 D.10
2.(a-x)(2+x)6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为()
A.4 B.5 C.6 D.7
3.(2024·武汉模拟)若(1+2x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10，则a1+a2+a3+…+a10等于()
A.310-1 B.1023 C.2 D.0
4.已知今天是周四，那么3141天后是()
A.周一 B.周三 C.周五 D.周日
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知2x-1x2n
A.n=7
B.展开式的各项系数之和是-1
C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D.展开式中无常数项
6.若(x2+x-2)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a
A.a0=1024
B.a1+a3+a5+…+a19=512
C.a2=6400
D.a1+2a2+3a3+…+20a20=0
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·榆林模拟)已知二项式x3+1xn的展开式中存在常数项，则正整数
8.x2+1x
四、解答题(共28分)
9.(13分)已知ax2+1x
(1)求n和a的值；(3分)
(2)求展开式中x-4项的系数；(4分)
(3)求2x-1x2
10.(15分)已知x-axn(n∈
(1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求n的值；(3分)
(2)当n=6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值；(5分)
(3)当n=6，a=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项.(7分)
每小题5分，共10分
11.(2024·咸阳模拟)当n∈N时，将三项式(x2+x+1
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中，x7的系数为
A.1 B.-1 C.2 D.-2
12.已知(1+x)x+1x2n(n∈N*，n10)
答案精析
1.A[x-2x
Tk+1＝C5kx5－k-2xk＝(－2)k·C5k·x5－2k，k＝0，1，
令5－2k＝－1，解得k＝3，
可得T4＝(－2)3C53·x
＝－80x－1，
即1x的系数为－80.
2.C[利用二项式定理展开得(a－x)(2+x)6＝(a－x)(C60·26+C61·25x+C62·24x2+C63·23x3+C64·22x4+C65·2x5+C66·x6)，则x5的系数为aC6
3.D[令t＝1+x，则原式可化为
(2t－1)10＝a0+a1t+a2t2+…+a10t10，令t＝0，得a0＝1，令t＝1，
得a0+a1+a2+…+a10＝1，
故a1+a2+a3+…+a10＝0.]
4.B[由题意得3141＝(
＝(28－1)47，
由二项式定理得(28－1)47＝C470·2847·(－1)0+C471·2846·(－1)1+…+C4746·281·(－1)46+C4747·280·(－1)47＝C470·2847·(－1)0+C471·2846·(－1)1+…+C
因为28可以被7整除，则3141除以7后的余数为6，则3141天后是周三.]
5.ACD[由题意可知2n＝128，
则n＝7，故A正确；
令x＝1，则2×1-1
故B错误；
因为n＝7，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4，5项二项式系数最大，分别为C73，C7
2x-1x27展开式的通项为Tk+1＝C7k·(2x)7－k·(-x-2)k＝C7k·27－k·(－1)k·x7－3k(k∈
故D正确.]
6.ACD[令x＝0，
则a0＝(－2)10＝1024，故A正确；
令x＝1，得a0+a1+…+a20＝0，令x＝－1，得a0－a1+a2－a3+…+a18－a19+a20＝1024，两式相减得a1+a3+a5+…+a19＝－512，故B错误；
(x2+x－2)10＝(x－1)10(x+2)10，而(x－1)10中常数项为1，含x的项为C109x·(－1)9＝－10x，含x2的项为C108x2·(－1)8＝45x2，(x+2)10中常数项为210＝1024，含x的项为C109x·29＝5120x，含x2的项为C108x2·28＝11520，故a2＝1×11520+(－10)×5120+45×1
两边求导可得10(2x+1)·(x2+x