第5节幂函数与二次函数
【课标要求】（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律；（2）掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）.
知识点一幂函数的图象与性质
1.定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.常见的五种幂函数的图象
3.幂函数的性质
（1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
（2）当α＞0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增；
（3）当α＜0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减；
（4）当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数.
结论幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论
（1）恒过点（1，1）；
（2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大.
（1）（苏教必修一P140思考改编）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（D）
A.－1＜m＜0＜n＜1 B.－1＜n＜0＜m＜1
C.－1＜m＜0＜n＜12 D.－1＜n＜0＜m＜
解析：（1）幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.
（2）（人A必修一P91练习2题改编）若a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
解析：（2）因为y＝x25在第一象限内单调递增，所以a＝3525＞c＝2525，因为y＝25x是减函数，所以c＝252
规律方法
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
练1（1）〔多选〕幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·xm2－6在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（
A.m＝3
B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增
C.函数f（x）是偶函数
D.函数f（x）的图象关于原点对称
解析：（1）因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·xm2－6在（0，＋∞）上单调递增，所以m2－5m+7=1，m2－60，解得m＝3，所以f（x）＝x3，所以f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），故f（x）＝x3为奇函数，函数图象
（2）（2025·广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围为（－∞，－1）∪（23，32）
解析：（2）分三种情况考虑：①m+10，3－2m0，m+13－2m，解得23＜m＜32；②m+10，3－2m0
知识点二二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为（m，n）；
（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的零点.
（1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f（x）－1，则f（x）＝（B）
A.x2－2x＋1 B.x2＋2x＋1
C.2x2－2x＋1 D.2x2＋2x－1
解析：（1）（一般式）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f（x）＝2ax＋b，由f（x）＝x2＋f（x）－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋（b－1），所以a=1，b=2a，c＝b－1，解得a=1，b=2
（2）已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（1－x）＝f（x），且f（x）的最大值是8，则此二次函数的解析式f（x）＝（A）
A.－4x2＋4x＋7 B.4x2＋4x＋7
C.－4x2－4x＋7 D.－4x2＋4x－7
解析：（2）（顶点式）由f（1－x）＝f（x）得f（x）图象的对称轴为直线x＝12，因f（x）的最大值是8，设二次函数f（x）＝a（x－12）2＋8（a≠0），由f（2）＝－1得，f（2）＝a（2－12）2＋8＝－1，解得a＝－4，则二次函数f（x）＝－4（x－12）2＋8＝－4x2＋4x＋7
规律方法
求二次函数解析式的方法
练2（2025·六安一模）已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为y＝12x2＋x－32或y＝－12x2－x＋
解析：（零点式）因为二次函数的图象过点（－3，0