§4.7正弦定理、余弦定理
课标要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB
a2=b2+c2-2bccosA；
b2=c2+a2-2cacosB；
c2=a2+b2-2abcosC
变形
(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；
(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sin
(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC
cosA=b2
cosB=c2
cosC=a
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinAab
a≥b
ab
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=12aha(ha表示边a
(2)S=12absinC=12acsinB=12bc
(3)S=12r(a+b+c)(r
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)
(2)在△ABC中，若sinAsinB，则ab.(√)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)
(4)当b2+c2-a20时，△ABC为锐角三角形.(×)
2.在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=23，则角B的值为()
A.30°或150° B.60°或120°
C.60° D.30°
答案D
解析在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=23，
由正弦定理asinA=bsinB，即2332=2
又ACBC，所以BA，即0°B60°，所以B=30°.
3.已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB=bcosA，则△ABC一定是()
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案A
解析由正弦定理得，acosB=bcosA?sinAcosB=sinBcosA?sin(A-B)=0，
由于-πA-Bπ，故必有A-B=0，A=B，即△ABC为等腰三角形.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，b=5，c=6，则cosA=，△ABC的面积为.?
答案34
解析依题意得cosA=b2+c
所以sinA=1?cos2A
所以△ABC的面积为12bcsinA=15
1.熟记△ABC中的以下常用结论：
(1)A+B+C=π，A+B2=π
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，ab?AB?sinAsinB，cosAcosB.
(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC.
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.
2.谨防两个易误点
(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
题型一利用正弦定理解三角形
例1(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2.
(1)求A；
(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周长.
解(1)方法一常规方法(辅助角公式)
由sinA+3cosA=2，
可得12sinA+32cosA
即sinA+π
由于A∈(0，π)?A+π3∈π
故A+π3=π
解得A=π6
方法二常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sinA+3cosA=2，
又sin2A+cos2A=1，
消去sinA得到
4cos2A-43cosA+3=0?(2cosA-3)2=0，
解得cosA=32
又A∈(0，π)，故A=π6
(2)由题设条件和正弦定理得，
2bsinC=csin2B?2sinBsinC=2sinCsinBcosB，
又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0，
进而cosB=22，得到B=π
于是C=π-A-B=7π12
sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
=2+
由正弦定理可得，
asinA=bsin
即2sinπ6=b
解得b=22，c=6+