§4.7正弦定理、余弦定理
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·成都模拟)在△ABC中，BC=3，AC=5，C=2π3，则AB等于(
A.53 B.51 C.45 D.7
2.(2024·黄石模拟)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B+C=60°，a=3，则sinB+sinCb
A.23 B.36 C.16 D
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bc=3a2，且b+c=72a，则sinA等于(
A.156 B.158 C.23
4.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=2sinCcosB，ccosB+bcosC=2c，则△ABC的形状是()
A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()
A.若AB，则sinAsinB
B.若a=10，c=8，C=π3，则符合条件的△ABC
C.若B=π6，b=2，c=2，则△ABC
D.若acosA=bcosB=ccos
6.(2025·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则下列结论中正确的是()
A.(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5∶6∶7
B.△ABC为钝角三角形
C.若a+b+c=18，则△ABC的面积为615
D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·马鞍山模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=1，cosC=-13，则边AB上的高为.
8.(2025·武威模拟)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为3(a2+b2-c2)43，c
四、解答题(共27分)
9.(13分)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab.
(1)求B；(6分)
(2)若△ABC的面积为3+3，求c.(7分)
10.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b(3sinA+cosA)=a+c.
(1)求B；(7分)
(2)若a=3c，求sinA.(7分)
11题6分，12题5分，共11分
11.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=10，a2+b2-c2=absinC，acosB+bsinA=c，则下列结论正确的是()
A.tanC=2
B.A=π
C.b=2
D.△ABC的面积为6
12.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=12(cb)2-c2+b2-a222.根据此公式，若acosB+(b-2c)cosA=0，且b2
答案精析
1.D[在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋32－2×5×3×-12＝49，所以AB＝
2.B[在△ABC中，B＋C＝60°，
所以A＝120°，
所以sinA
由正弦定理以及比例的性质可得
sinB＋
3.B[因为bc＝3a2，b＋c＝72a
则由余弦定理可得cosA＝b2＋c2-
又A∈(0，π)，所以sinA＝1-cos2
4.D[因为sinA＝2sinCcosB，
所以sin(B＋C)＝2sinCcosB，
即sinBcosC＋cosBsinC
＝2sinCcosB，
即sinBcosC＝sinCcosB，
即sin(B－C)＝0，
所以B＝C，b＝c，
又ccosB＋bcosC＝2c，
所以cosB＋cosB＝2，
所以cosB＝22
所以B＝π4，所以C＝π4，A＝
故△ABC为等腰直角三角形.]
5.ACD[A选项，在△ABC中，根据大角对大边，AB?ab，由正弦定理可得asin
所以sinAsinB，A正确；
B选项，根据正弦定理，
sinA＝asin
结合选项数据，得sinA＝538
故这样的三角形不存在，B错误；
C选项，由正弦定理得sinC＝csinBb，结合数据，得sinC＝22，因为cb，所以CB，故C为锐角或钝角，△
D选项，由acosA＝bcosB＝ccosC及正弦定理得，sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，而A