§2.2函数的单调性与最值
课标要求1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I?D,如果?x1,x2∈I
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件
(1)?x∈D,都有f(x)≤M；
(2)?x0∈D,使得f(x0)＝M
(1)?x∈D,都有f(x)≥M；
(2)?x0∈D,使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(－3)f(2),则f(x)在[－3,2]上单调递增.(×)
(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3).(×)
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(√)
(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).(×
2.下列函数中,在区间(0,＋∞)上单调递增的是()
A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2
C.y＝|lnx| D.y＝x
答案D
解析y＝－x＋1在(0,＋∞)上单调递减,不符合题意；
y＝(x－1)2在(0,＋∞)上不单调,不符合题意；
因为y＝|lnx|＝-lnx,0x1,lnx,x≥1,则y＝|lnx|
y＝x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意.
3.函数y＝－1x＋1在区间[1,2]上的最大值为
A.－13 B.－
C.－1 D.不存在
答案A
解析y＝－1x＋1在(－1,＋∞)上单调递增,则y＝－1x＋1在区间[
所以ymax＝－12＋1
4.函数f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,则满足f(2x－1)f?13的x的取值范围是
答案1
解析∵f(x)的定义域是[0,＋∞),
∴2x－1≥0,即x≥1
又∵f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,
∴2x－113,即x
则x的取值范围为12
1.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若?x1,x2∈I(x1≠x2),则
①f(x1)-f(x2)x1-x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x
②f(x1)-f(x2)x1-x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x
(2)y＝x＋1x的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1
(3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
2.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N?M.
题型一确定函数的单调性
命题点1函数单调性的判断
例1(多选)下列说法中,正确的是()
A.函数y＝e－x－1x2在(－∞,0
B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数
C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1]
D.函数f(x)＝2-x2＋2x＋
答案ABC
解析在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－1x2都单调递减,所以y＝e－x－1x2在(－∞,0)上单调递减
两增函数的和为增函数,故B正确；
作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示,
由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故C正确；
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故D错误.
命题点2利用定义证明函数的单调性
例2试讨论函数f(x)＝axx-1(a≠0)在(－1,1)
解方法一定义法
设－1x1x21,