§5.3平面向量的数量积
课标要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.?
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b=|a||b|cosθ
a·b=x1x2+y1y2
模
|a|=a
|a|=x
夹角
cosθ=a
cosθ=x
a⊥b的充要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤(
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×
(2)若a，b共线，则a·b=|a||b|.(×)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(√)
(4)若a·b=a·c，则b=c.(×)
2.(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)等于()
A.2 B.1 C.0 D.－1
答案B
解析a－b＝(－1，1)，a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1.
3.已知a=(1，2)，|b|=23，a·b=-3，则a与b的夹角为.?
答案120°
解析设a与b的夹角为θ，
因为a=(1，2)，|b|=23，a·b=-3，
所以cosθ=a·b|a||b|=?33×
因为0°≤θ≤180°，所以θ=120°，
即a与b的夹角为120°.
4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为2π3，且a+b+c=0，则|c|=.
答案7
解析因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3×cos2π3+32=4-6+9=7，所以|c|=7
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a+b)·(a-b)=a2-b2.
②(a±b)2=a2±2a·b+b2.
③a2+b2=0?a=b=0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为钝角或π.
题型一平面向量数量积的基本运算
例1(1)(2024·绵阳模拟)在半径为r的☉O中，弦AB的长度为a，则AB·AO的值为()
A.ar2 B.a22 C.ar
答案B
解析取线段AB的中点D，得OD⊥AB，
所以|AO|cosA=|AD|=12|AB
所以AB·AO=|AB||AO|cosA=12|AB|2=a
(2)(2025·苏州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，动点P在BC边上(包括端点)，则AD·AP的取值范围是()
A.[0，1] B.[-1，2]
C.[-2，2] D.[-1，1]
答案C
解析方法一设BA=a，BC=b，
令BP=λBC，λ∈[0，1]，
∵AP=AB+BP=-a+λb，AD=BC=b，
∴AD·AP=b·(-a+λb)=-a·b+λb2
=-2×2×cos60°+4λ=4λ-2，
∵λ∈[0，1]，∴4λ-2∈[-2，2].
方法二如图建立平面直角坐标系，△ABC为等边三角形，
A(0，3)，D(2，3)，
设P(x，0)，x∈[-1，1]，
∵AP=(x，-3)，AD=(2，0)，
∴AD·AP=2x∈[-2，2].
极化恒等式
1.极化恒等式
在平面向量中：
(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b=14[(a+b