§5.3平面向量的数量积
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·潍坊模拟)已知平面向量a与b的夹角是60°，且|a|=2，b=(1，2)，则a·(2a-b)等于()
A.8+25 B.4-5
C.8-5 D.4+25
2.在四边形ABCD中，AC=(1，2)，BD=(-4，2)，则四边形ABCD的面积S等于()
A.52 B.5 C.10 D.
3.已知向量a=(-1，2)，向量b满足|a-b|=25，且cos〈a，b〉=55，则|b|等于(
A.5 B.3 C.5 D.35
4.(2025·杭州模拟)已知a，b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为12b，则向量a与向量a-b的夹角为(
A.30° B.60° C.90° D.120°
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是()
A.(a+b)·c=a·c+b·c
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b≤|a||b|
D.|a-b|≤|a|+|b|
6.已知向量a=(-2，1)，b=(1，t)，则下列说法正确的是()
A.若a⊥b，则t的值为-1
B.|a+b|的最小值为1
C.若|a+b|=|a-b|，则t的值为2
D.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是-∞，
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·西安模拟)已知单位向量e1⊥e2，向量a=λe1-2e2，b=2e1+e2，若a⊥b，则实数λ=.?
8.(2025·信阳模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e=2，|a-λe|=1，则|a|的最大值为.?
四、解答题(共27分)
9.(13分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，E是BC边的中点
(1)试用AB，AD表示AE，BC
(2)求DB·AE的值.(7分)
10.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AE=λAD，BC=2AB=2AD=2.
(1)若BE⊥AC，求实数λ的值；(7分)
(2)若λ=23，求AC与BE的夹角θ的余弦值.(7分
11题5分，12题6分，共11分
11.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把absinθ叫作向量a与b的外积，记作a×b，即a×b=absinθ，已知点A(0，1)，B(-1，3)，O为坐标原点，
A.0.5 B.-1 C.0 D.1
12.(多选)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()
A.若OA+OB+OC=0，则点O为△ABC的重心
B.若OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O为△ABC的垂心
C.若OA+2OB+3OC=0，则△ABC的面积与△ABO的面积之比为3∶1
D.若ABAB+ACAC·BC=0，BABA·BCBC=
答案精析
1.C[由b＝(1，2)可得|b|＝5，
因为平面向量a与b的夹角是60°，且|a|＝2，
所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b
＝2|a|2－|a||b|cos60°＝8－5.]
2.B[因为AC＝(1，2)，
BD＝(－4，2)，
所以AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD，
又|AC|＝12
|BD|＝(-4)2＋2
所以四边形ABCD的面积
S＝12|AC||BD|＝12×5×25
3.C[由于向量a＝(－1，2)，
可得|a|＝5，
由|a－b|＝25，得|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝20，
故5－25×|b|×55＋|b|2＝20，得|b|2－2|b|－15＝0，得|b|＝5或|b|＝－3(舍去)
所以|b|＝5.]
4.B[因为向量a在向量b上的投影向量为12b，a，b
所以|a|cos〈a，b〉·b＝12b
所以cos〈a，b〉＝12
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π3
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－1×1×12
又|a|＝1，|a－b|＝(
＝1＋1-2×
所以cos〈a，a－b〉＝a·(
又〈a，a－b〉∈[0，π]，
所以向量a与向量a－b的夹角为π3，即60°.
5.ACD[根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
C中，根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，
故C正确；
D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.]
6.BCD[选项A，a⊥b?－2＋t＝0?t＝2，A选项错误；
选项B，|a＋b|＝(t＋1)