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文件名称:第二章 §2.6 二次函数与幂函数.docx
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更新时间:2025-06-13
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文档摘要

§2.6二次函数与幂函数

课标要求1.通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0,+∞)上都有定义;

②当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;

③当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;

④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数

y=ax2+bx+c(a0)

y=ax2+bx+c(a0)

图象(抛物线)

定义域

R

值域

4

-

对称轴

x=-b

顶点坐标

-

奇偶性

当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在-∞,-b

在-b2

在-∞,-b

在-b2

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y=12x12是幂函数.(

(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a0且Δ0.(√)

(3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1,+∞).(×)

(4)若幂函数y=xα是偶函数,则α为偶数.(×)

2.已知幂函数f(x)的图象过点14,2,则f(4)等于

A.0 B.12 C.-12 D.

答案B

解析设幂函数f(x)=xn,因为其图象过点14,2,则14n=2,即2-

解得n=-12,所以f(x)=x-12,则f

3.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值域是()

A.[0,1] B.-

C.[1,2] D.-

答案D

解析f(x)=2x2-x-1=2x

因为-1≤x≤1,所以f(x)在-1,14上单调递减,在14,1上单调递增,且

又f(1)=2-1-1=0,f(-1)=2+1-1=2,

故f(x)=2x2-x-1在-1≤x≤1上的值域为-9

4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-3]上单调递减,则实数a的取值范围是.?

答案(-∞,4]

解析由函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-3]上单调递减,

可得-2(a-1)2≥-3,即a

故实数a的取值范围是(-∞,4].

1.幂函数的性质

(1)当α0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限.

(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(-1,1),(-1,-1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.

2.谨防三个易误点

(1)幂函数f(x)=xmn(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数;当m为奇数,n为偶数时

(2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理;

(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.

题型一幂函数的图象与性质

例1(1)下列命题中正确的是()

A.当m=0时,函数y=xm的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点

C.幂函数y=xm的图象不可能在第四象限内

D.若幂函数y=xm为奇函数,则y=xm是定义域内的增函数

答案C

解析对于A,当m=0时,函数y=xm的图象是直线y=1除去点(0,1),所以A项不正确;

对于B,幂函数的幂指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确;

对于C,幂函数y=xm的图象不可能在第四象限内,所以C项正确;

对于D,当m=-1时,幂函数y=xm为奇函数,但在定义域内不是增函数,所以D项不正确.

(2)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±12四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(

A.-2,-12,12,2 B

C.-12,-2,2,12 D.2,1

答案B

解析根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象:

当n0时,n越大,y=xn递增速度越快,所以曲线C1的n=2,C2的n=12

当n0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=-12,C4的n=-

思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条