第7节抛物线
考试要求1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.
【知识梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px(p0)
y2＝－2px(p0)
x2＝2py(p0)
x2＝－2py(p0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－eq\f(p,2)
x＝eq\f(p,2)
y＝－eq\f(p,2)
y＝eq\f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.
3.过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦.
4.抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线.
5.不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq\f(a,4).()
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()
(4)抛物线的离心率一定大于椭圆的离心率.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)√
解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝eq\f(1,a)y，
是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，准线方程是y＝－eq\f(1,4a).
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
2.(选修一P138T2(2))抛物线y2＝8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________.
答案(4，±4eq\r(2))
解析设所求点为P(x0，y0)，
则yeq\o\al(2,0)＝8x0且x0＋2＝6，
解得x0＝4，y0＝±4eq\r(2).
3.(选修一P133T1(3)改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是______________.
答案y2＝±4x或x2＝±4y
解析由题知p＝2，2p＝4，但焦点轴不确定，故答案为y2＝±4x或x2＝±4y.
4.(2021·新高考Ⅱ卷改编)抛物线y2＝2px(p0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq\r(2)，则p＝________.
答案2
解析抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，
其到直线x－y＋1＝0的距离
d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2)，
解得p＝2(p＝－6舍去).
考点一抛物线的定义及应用
例1(1)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹是()
A.直线 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案D
解析依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，
所以P到直线x－4＝0的距离和它到点(－4，0)的距离相等，
所以P点的轨迹是抛物线.
(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上