§8.6椭圆
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点(-4，0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为()
A.x216+y28=1 B.
C.x28+y216=1 D.
2.(2025·哈尔滨模拟)已知F1是椭圆C：x22+y2=1的左焦点，直线x=1与C交于A，B两点，则△F1
A.2 B.3 C.22 D.42
3.若椭圆x2a2+y23
A.32 B.
C.3或3 D.3或3
4.(2024·广州模拟)已知点F，A分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0，
A.2?32
C.3?12
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·汕头模拟)已知椭圆C：x216+y212=1的两个焦点分别为F1，F2，
A.椭圆C的离心率为3
B.|PF1|的最小值为2
C.|PF1|·|PF2|的最大值为16
D.可能存在点P，使得∠F1PF2=65°
6.已知圆O：x2+y2=3经过椭圆C：y2a2+x2b2=1(ab0)的两个焦点F1，F2，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且
A.椭圆C的焦距为3
B.椭圆C的短轴长为2
C.△PF1F2的周长为4+23
D.点P的坐标为3
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知方程x2k?4+y28?k
8.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于P，Q两点，且PF1⊥PQ，|PF2|=2|QF2
四、解答题(共28分)
9.(13分)已知圆M：(x+3)2+y2=64的圆心为M，定点N(3，0)，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P.
(1)求动点P的轨迹C的方程；(6分)
(2)若点Q是曲线C上一点，且∠QMN=60°，求△QMN的面积.(7分)
10.(15分)(2024·西安模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，且满足|
(1)求椭圆C的离心率；(6分)
(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别与x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|·|OQ|=4，求椭圆C的方程.(9分)
每小题5分，共10分
11.已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为?2
A.215 B.5 C.285
12.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|+|QF2|≥
答案精析
1.B[由题意得a＝4，2c＝6，
则c＝3，b2＝a2－c2＝7，所以该椭圆的标准方程为x216
2.D[由于2?1＝1，故AB经过椭圆的右焦点，
故△F1AB的周长为4a＝4×2＝42.]
3.D[若椭圆的焦点在x轴上，则离心率e＝a2?3a＝32，得a2＝12
若椭圆的焦点在y轴上，则离心率e＝c3＝32，此时半焦距
所以该椭圆的半焦距为3或32.
4.B[∵FB·AB＝0，
∴FB⊥AB，
∴|FB|2+|AB|2＝|AF|2，
即b2+c2+a2+b2＝(a+c)2，
整理得ac－b2＝0，
即c2+ac－a2＝0，
等号两边同时除以a2，
得c2a
即e2+e－1＝0，解得e＝?1±5
∵0e1，∴e＝?1+52
5.BC[椭圆C：x216+y212＝1的长半轴长a＝4，短半轴长b＝23，半焦距c＝a2?b2
因为a－c≤|PF1|≤a+c，
因此|PF1|min＝a－c＝2，B正确；
|PF1|·|PF2|
≤PF1|+PF2|22＝a2＝16，当且仅当
当P点在短轴端点时，∠F1PF2最大，此时sin∠F1PF22＝ca＝12，所以∠F1PF2＝60°，因此
6.BCD[因为圆O：x2+y2＝3经过椭圆C：y2a2+x2b2＝1(ab
所以c＝3，故焦距为23，A错误；
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
因为P在圆上，则∠F1PF2＝π2
则S△PF1F2
又由勾股定理知m2+n2＝(23)
所以(m+n)2＝m2+n2+2mn＝16，
所以m+n＝4，即2a＝4，a＝2，
所以b＝a2?c2＝1，所以短轴长为
△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+2c＝2a+2c＝4+23，C正确；
又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，
则S△PF1F2＝12|F1F2|·xP＝12×2
代入圆的方程可得xP2
所以yP＝26
故点P的坐标为33
D正确.]
7.(4，6)∪(6，8)
解析因为方程x2k
所以k?40,8?k0