第3节变量间的相关关系及回归模型
一、单项选择题
1.（2024·天津高考3题）下列图中，线性相关系数最大的是（）
2.下列说法正确的是（）
A.若经验回归方程为y＝3－5x，则变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位
B.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越低
D.在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好
3.已知变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）.r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，则下列结论中正确的是（）
A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1
C.r2＜0＜r1 D.r2＝r1
4.根据如表样本数据：
x
2
3
4
5
6
y
4
2.5
－0.5
－2
－3
得到的经验回归方程为y＝bx＋a，则（）
A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0
5.（2025·河北“五个一”联盟联考）某医院为了提高服务水平和病人满意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题.某天上午回访的5人中，通话时间（单位：秒）如表所示：
序号x
1
2
3
4
5
时间y
37
65
21
m
32
根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程为y＝bx＋40.9.据此求出（5，32）残差为－7.4，则m＝（）
（残差＝实际值－观测值）
A.45 B.25
C.37 D.7
6.（2025·成都一模）如图，由观测数据（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）的散点图可知，y与x的关系可以用模型y＝blnx＋a拟合，设z＝lnx，利用最小二乘法求得y关于z的回归方程为y＝bz＋1.已知x1x2x3x4x5x6＝e12，∑i=16yi＝18，则b
A.17e12 B
C.1 D.17
二、多项选择题
7.（2024·宁波期末）某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如表所示：
单价x/元
8
8.5
9
9.5
10
销量y/万件
89
85
80
78
68
根据以上数据得到y与x具有较强的线性相关关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程为y＝－19.8x＋a，则（）
A.样本相关系数r＞0
B.点（9，80）一定在经验回归直线上
C.a＝258.2
D.x＝9.5时，对应销量的残差为－7.9
8.自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著.如图是根据一组观测数据得到的海拔6km～15km的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1＝－4.0x＋68.5，决定系数为R12＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为y2＝132.9e－0.163x，决定系数为R22＝0.
A.由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B.由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1km，大气压强必定降低4.0
C.由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，样本点（11，22.6）的残差为－1.
D.对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2＝132.9e－0.163x
三、填空题
9.（2024·浙江开学考试）已知成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥3）中x1，x2，…，xn互不相等，且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝－12x＋1上，则这组成对样本数据的样本相关系数r＝
10.已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln（k1x）与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2，则r1r2.（填“＞”“＜”或“＝”）
11.（2024·广州一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）.令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得x＝8，y＝5，∑i=18yi2＝214.由最小二乘法得经验回归方程为y＝bx＋7.4，则k的值为；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值yi（i＝1，2，…，8），若残差平方和∑i=18（yi－yi）2
（参考公式：决定系数R2＝1－∑i
四、解答题