第六节双曲线
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若｜PF1｜＝9，则｜PF2
A.1 B.17
C.1或17 D.以上均不对
解析：B根据双曲线的定义得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8?｜PF2｜＝1或17.又｜PF2｜≥c－a＝2，故｜PF2｜＝17.
2.已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（）
A.2 B.2
C.3 D.3
解析：A由△BA1A2是一个等边三角形，可得b＝3a，即b2＝3a2，则有c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，则双曲线C的离心率e＝ca＝2.故选
3.经过点A（3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为（）
A.x24－y24＝1 B.y
C.x28－y28＝1 D.y
解析：C设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），把点A（3，－1）代入，得9－1＝λ，λ＝8，故所求双曲线方程为x28－y
4.若双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（5，0），两条渐近线互相垂直
A.22 B.
C.2 D.52
解析：B依题意c＝5，由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以ba×（－ba）＝－b2a2＝－1，a2＝b2，a＝b，由于a2＋b2＝c2，所以2a2＝25
1.双曲线方程的常见设法
（1）与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的方程可设为x2a2
（2）若渐近线的方程为y＝±bax，（a＞0，b＞0）则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝
2.双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b；
（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为
（4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2
1.与双曲线x22－y2＝1有相同渐近线，且与椭圆y28＋x22
A.x22－y24＝1 B.y
C.x24－y22＝1 D.y
解析：B由结论1，可设双曲线方程为y2－x22＝λ，故2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为y22
2.已知双曲线x23－y2b2＝1（b＞0），其焦点到渐近线的距离为1
A.233
C.23 D.3
解析：A由结论2可知：b＝1，又a＝3，所以c＝3+1＝2，所以该双曲线的离心率e＝ca＝23＝23
3.过双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形
答案：1+
解析：若△OAB为等腰直角三角形，由结论2可得c＝b2a，即ac＝c2－a2，可得e2－e－1＝0，e＞1，解得e＝