§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是()
A.8 B.10 C.12 D.14
2.设随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a，i=1，2，3，则
A.3 B.73 C.2 D.
3.已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
1
m
n
若P(X≤0)=12，且2X+Y=1，则D(Y
A.2918 B.4718 C.299
4.已知随机变量X的概率分布列为P(X=n)=asinπ4n?2(n=1，2)，其中a是常数，则
A.23 B.43 C.2
5.一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ≤2)等于()
A.914 B.2556 C.3756
6.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的奖金/元
100
200
300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最大()
A.FDE B.FED C.DEF D.EDF
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
5
P
a
2a+0.2
a+0.2
2a
则下列说法正确的是()
A.a=0.1 B.D(X)=1.84
C.E(X)=2 D.E(2X+6)=9
8.已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
p1
p2
p2
下列结论正确的是()
A.若p1=2p2，则p1=1
B.若p1=p2，则P(|X|=1)=2
C.若E(X)=13，则p2=
D.p12-p2(p1p2≠
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.随机变量ξ的分布列如表所示：
ξ
2
3
4
P
a
b
a
根据随机变量ξ的分布列，计算出E(ξ)=，若D(ξ)=12，则b的数值应是
10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：
降水量X
X300
300≤X700
700≤X900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·重庆模拟)甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5.
(1)求比赛只进行了三局就结束的概率；(5分)
(2)已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.(8分)
12.(15分)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.
(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：
①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；(3分)
②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(5分)
(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.(7分)
每小题5分，共10分
13.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是()
X
1
2
3
4
5
6
P
p1
p2
p3
p4
p5
p6
A.P(X≥4)=1-P(X≤3)
B.随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5
C.当pn=12n(n=1，2，3，4，5)时，p6
D.数列{pn}的通项公式可以为pn=1n(n
14.设θ∈π6，π3，随机变量ξ的分布列如表所示，则
ξ
1
2
3
P
12sin2
1
A.有最大值52，最小值
B.有最大值94，最小值
C.有最大值94
D.无最大值，有最小值7
答案精析
1.C2.A
3.C[由P(X≤0)=1
得m=12-13
n=1-P(X≤0)=1
则E(X)=-1×13+0×16+1×1
D(X)=E(X2)-(