§10.6离散型随机变量及其分布列、数字特征
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是()
A.8 B.10 C.12 D.14
2.已知离散型随机变量X的分布列PX=k5=ak(k=1，2，3，4，5)，则P110
A.15 B.13 C.35
3.小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)等于()
A.176 B.182 C.184 D.186
4.随机变量ξ的分布列如表：
ξ
0
1
2
P
2a-b
a
a+b
则D(ξ)的取值范围是()
A.34，13
C.316，11
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
5
P
a
2a+0.2
a+0.2
2a
则下列说法正确的是()
A.a=0.1 B.D(X)=1.84
C.E(X)=2 D.E(2X+6)=9
6.一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中不正确的是()
A.P(X=1)=12 B.X+Y
C.E(X)E(Y) D.E(Z)=28
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.随机变量Y的分布列如表，且E(Y)=3，则D(3Y-5)=.?
Y
0
2
a
P
1
m
1
8.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：
降水量X
X300
300≤X700
700≤X900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为.?
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·重庆模拟)甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5.
(1)求比赛只进行了三局就结束的概率；(5分)
(2)已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.(8分)
10.(15分)猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的奖励基金如表：
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
(1)若甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，求至少猜对两首歌曲歌名的概率；(5分)
(2)甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.(10分)
每小题5分，共10分
11.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是()
X
1
2
3
4
5
6
P
p1
p2
p3
p4
p5
p6
A.P(X≥4)=1-P(X≤3)
B.随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5
C.当pn=12n(n=1，2，3，4，5)时，p6
D.数列{pn}的通项公式可以为pn=1n(n+1)(n=1，2，3，4
12.(2025·沈阳模拟)某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则ab的最大值为.
答案精析
1.C[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.]
2.A[由已知离散型随机变量X的分布列
PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，
则a+2a+3a+4a+5a＝1，
解得a＝115
由110X35可得X＝15或X
故P110X35＝P
3.B[依题意可得X的可能取值为200，180，160.
P(X＝200)＝0.4，
P(X＝180)＝0.3