第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日2、克罗内克尔符号3、交变符号四、张量定义定义1：张量作为向量定义的推广当由一个坐标系转换到另一个坐标系时，向量按下式变换则笛卡儿坐标系所确定的三向量组叫张量是张量的向量分量。第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日五、张量运算1、相加2、外积：r阶和s阶张量的外积是一个r+s阶张量，其分量为原来张量的各个分量之积。定义2：向量的并积，就代表一个二阶张量。第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日4、内积：内积是外积的缩并。3、缩并：令张量的两个脚标相等并循环相加。5、张量场的微分：对张量的每个元素取其的导数张量的微分叫做张量的梯度（新得的张量其阶数多1）第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日三、向量微分算子（哈密顿算子）哈密顿算子的符号是，有两种表示方法微分形式：（运算）积分形式：含义，用它作用在一个标量函数上来说明。（场的概念）1、叫梯度（标量场的最大变化率和变化率的方向）sv第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日2、微分形式和积分形式是否等价：证明：取的二等值面和两二等值面之间的小圆柱,如图沿柱面积分，该积分由三部分组成，即所以：第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日若定义一个向量场，则向量微分算子与它作用后分别得到：叫散度，标量，物理意义叫旋度张量场第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐标系中向量场的通量和散度物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则曲面积分图0.4.1通量l第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日有源场和无源场：散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva0，称该点有源；若diva0，称该点有汇。|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。⑴（常数）散度的基本运算公式：（2)(为标量）（3)散度anM散度的微分形式为：第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日旋度定义：取微小圆柱体，取为速度，法线方向为，对整个微元体进行以下积分。和的方向满足右手螺旋法则。定义：环量定义：在向量场a沿有向封闭曲线l的积分称为向量a沿曲线l的环量。向量场的环量和旋度物理量的旋度可用来判别场是否有旋（围绕某点旋转）。第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日可证：旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场，叫旋度场在直角坐标系中表达式：引进哈密顿算子：第11页，共25页