高考真题衍生卷·命题区间6
1．D[结合函数图象可知，当xa时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递增，
当ax0时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递减；
当0xb时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递增；
当xb时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递减．
故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值．故选D.]
2．CD[由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因为f(1)＝－1，所以－ae＋b＝－1，A错误；
则b＝ae－1，所以ab＝ea2－a，B错误；
由函数f(x)有两个极值点，
可知f′(x)＝1＋lnx－aex＝0，
即a＝1+ln
设g(x)＝1+lnxex，则g′(x
令g′(x)0得0x1，此时g(x)单调递增；
令g′(x)0得x1，此时g(x)单调递减，
所以g(x)在x＝1处取得极大值，
即极大值为g(1)＝1e，
又x→0时，g(x)→－∞；
x→＋∞时，g(x)→0，
可得g(x)的图象如图所示，
欲使y＝a与y＝g(x)图象有两个交点，只需0a1e，C
因为ab＝ea2－a，当a∈0，1e时，由二次函数的性质，得－14e≤ab
3．ACD[对A选项，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，
易知当x∈(1，3)时，f′(x)0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)0，
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确；
对B选项，当0x1时，x－x2＝x(1－x)0，所以1xx20，
由A选项可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)f(x2)，故B错误；
对C选项，当1x2时，12x－13，由A选项可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，
所以f(1)f(2x－1)f(3)，即－4f(2x－1)0，故C正确；
对D选项，当－1x0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)0，
所以f(2－x)f(x)，故D正确．故选ACD.]
4．BD[f′(x)＝2ae2x－bex＋c，
因为f(x)既有极大值也有极小值，
所以f′(x)＝0有两个不相等的根，
令ex＝t，t∈(0，＋∞)，此时2at2－bt＋c＝0有两个不相等的正根，
所以Δ＝b2-8ac0，t1+t2＝b
所以A错误，B，D正确；
1ex1
5．解：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex，f′(1)＝(1－a)e.
由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.
(2)由(1)得f′(x)＝(ax－1)(x－2)ex.
若a＞12，则当x∈1a，2时，f′(x
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝2处取得极小值．
若a≤12，则当x∈(0，2)时，x－2＜0，ax－1≤12x－1＜0，f′(x)
所以x＝2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是12
6．B[因为函数fx的定义域为(0，＋∞)，所以依题可知，f(1)＝－2，f′(1)＝0，而f′(x)＝ax-bx2，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝-2x+2x2，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1
7．D[因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，f(x)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f(2)＝－5，所以最小值是－37.故选D.]
8．AD[由题意可得T＝2π是f(x)＝2sinx＋sin2x的一个周期，故只需考虑f(x)＝2sinx＋sin2x在[0，2π]上的值域．
因为f(x)＝2sinx＋sin2x，
所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．
令f′(x)＝0，解得cosx＝12或cosx＝－1，解得x＝π3，π或
所以f(x)＝2si