第2课时球的切、接问题
几何体的外接球
【例1】（1）（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A.100π B.128π
C.144π D.192π
（2）（2023·全国乙卷16题）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝.
答案：（1）A（2）2
解析：（1）由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，
（2）法一如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝23×32×3＝3.将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝12SA.又球的半径R＝OA＝2，OA2＝OO12＋O1A2，所以4＝14SA2＋
法二如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝23×32×3＝3.设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OO1，则OO1⊥平面ABC.又SA⊥平面ABC，所以OO1∥SA，连接OS，OA，由题意知OS＝OA＝2.过O作SA的垂线，设垂足为H，则四边形AO1OH为矩形，所以OO1＝AH，由OS＝OA可知H为SA的中点，则OO1＝AH＝12SA.所以在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝OO12＋O1A2，即4＝14SA2＋
解题技法
1.求几何体外接球半径的方法
（1）补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们外接球半径公式求解；
（2）性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.
2.确定球心的常用结论
（1）长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
（2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
（3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
（4）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
1.（2024·菏泽一模）已知三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）
A.7143π
C.56π D.14π
解析：B以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PABB-CAPC被平面ABC所截的三棱锥P-ABC符合要求，如图，长方体PABB-CAPC与三棱锥P-ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP，设外接球的半径为R，则（2R）2＝PP2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S＝4πR2＝π·（2R）2＝14π.
2.（2021·全国甲卷11题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（）
A.212 B.
C.24 D.
解析：A如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝1－AB22＝1－222＝22，所以三棱锥O-ABC的体积V＝13S△ABC×OO1＝13
几何体的内切球
【例2】（1）（2023·全国甲卷15题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点；
（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.
答案：（1）12（2）23
解析：（1）不妨设正方体棱长为2，EF中点为O，取CD，BB1中点G，M，侧面BB1C1C的中心N，连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF＝FG2＋EG2＝22＋22＝22，即R＝2，则球心O到BB1的距离为OM＝ON2＋MN2＝12＋12＝2，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有1
（2）易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32