端点效应及应用
在导数应用的学习中，恒成立问题一直是一大难点问题，思维要求高，运算强度大，同时也是高考中常考常新的题型.端点效应是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个端点值，或某几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题，用该方法解决恒成立问题可以减少分类讨论的类别，常常起到事半功倍的效果.但并不是所有恒成立问题均能通过端点效应解答，很多题目初看是端点效应问题，但在运用时却发现端点效应失效（如2020·全国Ⅰ卷理21题）.本文基于导数恒成立问题探讨端点效应的应用，如何快速识别端点效应失效，若失效又将如何处理.
一、端点效应及应用
对任意x≥0，ex≥ax2＋x＋1恒成立，求实数a的取值范围.
解：构造函数f（x）＝ex－ax2－x－1（x≥0），首先发现f（0）＝0，求导得f（x）＝ex－2ax－1.又有f（0）＝0，继续求导，得f″（x）＝ex－2a，此时f″（0）＝1－2a，
当1－2a≥0，即a≤12时，在x∈[0，＋∞）上，f″（x）≥f″（0）＝1－2a≥0，所以f（x）单调递增，则f（x）≥f（0）＝0，故函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0恒成立，符合题意.（必要性成立
下证充分性：当a≤12时，f（x）≥ex－12x2－x－1≥0，设h（x）＝ex－12x2－x
则h（x）＝ex－x－1，易证ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号，
所以h（x）在R上单调递增，又h（0）＝0，
所以当x≥0时，h（x）≥0成立，即充分性成立.
综上得a的取值范围为（－∞，12］
规律方法
端点效应的核心思想是利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求（需要求导或者放缩进行验证）.端点效应的三层心法（f（x）≥0在[a，b]上恒成立）：
第一层——利用原函数：若端点处函数值f（a），f（b）包含参数λ，则根据恒成立条件在端点处也成立，得f（a）≥
第二层——利用一阶导函数：若端点处函数值恰为0，即f（a）＝0或f（b）＝0，则此时有f（a）≥0或f（b）≤0；
第三层——利用二阶导函数：若端点处函数值和导数值均为0，即f（a）=0，f(a）=0或f（b）
二、端点效应失效的快速识别及处理方法
（2020·全国Ⅰ卷理21题节选）已知函数f（x）＝ex＋ax2－x，当x≥0时，f（x）≥12x3＋1，求a的取值范围.
解：令函数h（x）＝ex－12x3＋ax2－x－1在x＝x0处取得最小值，h（x）＝ex－32x2＋2ax－
则h（x
解得x0＝0或x0＝2或x0＝2a＋1，由此判断最值点不一定是端点，端点效应失效，接下来需满足：
h（0
解①得a≥7－e24，解②得
故a的取值范围为［7－e24
变式设函数f（x）＝ex（ax2－2x＋3），x∈R.若f（x）≥x＋3恒成立，求实数a的取值范围.
解：构造函数h（x）＝ex（ax2－2x＋3）－x－3，
设h（x）的最小值点为x0，则h
即e
②－①，化简整理得，2ax0ex0－2ex0＋x0＋
易知当x0＝0时，等式成立，
由h（x）＝ax2ex＋2axex－2xex＋ex－1，
h（0）＝0，
则h″（x）＝aexx2＋4axex＋2aex－2xex－ex，
令h″（0）≥0，则2a－1≥0，a≥12
故a≥12是原不等式成立的一个必要条件
下面证明充分性：
当a≥12，x∈R时，h（x）≥ex（12x2－2x＋3）－x－
设g（x）＝ex（12x2－2x＋3）－x－3，g（x）＝ex（12x2－x＋1）－1，则g″（x）＝12x2ex≥0在x∈
所以g（x）在x∈R上单调递增，
又g（0）＝0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，
故g（x）≥g（0）＝0，故h（x）≥g（x）≥0成立，
故充分性成立，
即a的取值范围为［12，＋∞）
规律方法
1.端点效应失效的快速识别
（1）对于函数h（x）＝f（x）－g（x，a）（x∈D），先按照端点效应的处理方法，将定义域的端点代入缩小参数的范围，证明其充分性时发现原函数并不单调，即此时的充分性无法论证，则端点效应失效；
（2）端点效应失效的本质为端点处并不是函数的最值，解决此类端点效应失效恒成立问题的关键在于找到函数的最值，根据上述例题不难发现，恒成立时的“端点”既是函数的最值点又是函数的零点.因此，解答此类问题时，只需要通过构造函数，联立方程求解最值和零点，即可快速判断端点效应是否失效.
2.端点效应失效后的处理方法，最主要的是求出函数的最值点：
（1）如果最值点好求，则求出最值点后，代入要满足的条件即得参数的取值范围，随后再证其充分性即可；
（2）