重难专攻（六）数列与其他知识的交汇问题
【重点解读】数列与函数、不等式、集合等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等.
提能点1
数列与函数（导数）的交汇问题
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，
∴a32＝a1a13，即（1＋2d）2＝1＋12d，得d＝2，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－
∵数列{bn}的前n项和Sn＝2bn－2，当n＝1时，
b1＝2b1－2，∴b1＝2，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1，
故数列{bn}是首项为2、公比为2的等比数列，∴bn＝2n.
（2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.
解：（2）由（1）可得cn＝bn－an＝2n－（2n－1），
∴Tn＝2（1－2n）1－2－n（1+2
∴Tn＋n2－n＝2n＋1－n－2.
令f（x）＝2x＋1－x－2（x≥1），
f（x）＝2x＋1ln2－1，
∵x≥1，∴f（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f（1）＝1.
∴log2（1－a）＜1，∴0＜1－a＜2，∴－1＜a＜1.
故实数a的取值范围为（－1，1）.
规律方法
数列与函数（导数）的综合问题涉及两类题型
（1）以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值、不等式恒成立下的参数范围问题等.解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数（定义域是正整数集或它的有限子集），利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一般的转化思想；
（2）以函数为背景知识研究数列问题，如已知函数的性质，求对应数列的通项公式，前n项和或比较最大项（最小项）等问题，解决该类问题的关键是构建符合函数特征的数列，体现由一般到特殊的转化思想.
练1已知在数列{xn}中，x1＝a，xn＋1＝2x
（1）设a＝tanθ（0＜θ＜π2），若x3＜45，求θ
（2）定义在（－1，1）内的函数f（x），对任意x，y∈（－1，1），有f（x）－f（y）＝f（x－y1－xy），若f（a）＝12，试求数列{f
解：（1）因为0＜θ＜π2，x1＝a＝tanθ＞0
由题意xn＞0.
又xn＋1＝21xn＋xn≤1，所以xn
由x3＜45，得2x21+x22＜45，即2x2
求得x2＜12或x2＞2
又x2∈（0，1]，则0＜x2＜12
而x2＝2x11+x12＝2tan
因此0＜sin2θ＜12
因为2θ∈（0，π），所以0＜θ＜π12或5π12＜θ
故θ的取值范围为（0，π12）∪（5π12，
（2）令x＝y＝0，得f（0）＝0，令x＝0，得f（0）－f（y）＝f（－y），
即f（－y）＝－f（y），所以f（x）是奇函数.
由f（xn＋1）＝f（2xn1＋xn2）＝f（xn-(-xn）1－xn
即f（xn+1）f（xn）＝2，
故f（xn）＝f（x1）·2n－1＝f（a）·2n－1＝2n－2.
提能点2
数列与不等式的交汇问题
角度1数列与基本不等式的交汇
记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知{Sn－an}是等差数列.
（1）求a1
解：（1）由题意得{Sn－an}是等差数列，设其公差为d，
则Sn＋1－an＋1＝Sn＝Sn－an＋d，则an＝d＞0，故a1a100
（2）求最小的正整数m，使得存在数列{an}满足Sm－am2＞
解：（2）由（1）可知，an＝d＞0，则Sm－am2＞2可转化为Sm－am2＝md－d
故m＞d＋2d≥22，当且仅当d＝2时，d＋2d≥22
由于m为正整数，故最小正整数m的值为3，
当m＝3时，取an＝2，则S3－a32＝32－2＞2，
综上所述，正整数m的最小值是3.
规律方法
求解数列与不等式综合问题的步骤
（1）根据题目条件，求出数列的通项公式；
（2）根据数列项的特征，选择合适的方法（公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等）求和；
（3）利用（2）中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；
（4）反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.
提醒解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、利用基本不等式等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
角度2放缩法证明数列不等式
（2025·邢台一模