重难专攻（十四）概率与统计的综合问题
【重点解读】概率与统计的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.
提能点1
统计图表与概率的综合问题
（2025·海淀开学考试）某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率.
（1）估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率；
解：（1）设事件A为“某一天此款甜品销售量不超过60个”，
所以P（A）＝（0.01＋0.03）×10＝0.4.
（2）用X表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于60个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
解：（2）根据题意X～B（3，0.6），则
P（X＝0）＝0.43＝0.064，P（X＝1）＝C31·0.6·0.42＝0.
P（X＝2）＝C32·0.62·0.4＝0.432，P（X＝3）＝0.63＝0.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
所以E（X）＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.
（3）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由.
解：（3）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.
设事件C表示“日销售量大于70个”，用Y表示“30天内日销售量大于70个的天数”，
由直方图可得P（C）＝0.2，又Y～B（30，0.2），所以E（Y）＝30×0.2＝6＜20，
所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.
规律方法
统计图表与概率综合问题的求解策略
（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；
（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.
练1某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.
（1）求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；
（2）从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.
解：（1）由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，
所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为2×4+3×5+4×
（2）由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝C42＋
P（X＝1）＝C41C
P（X＝2）＝C41C
P（X＝3）＝C41C
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
19
13
7
2
所以X的数学期望E（X）＝0×1975＋1×1330＋2×730＋3×2
提能点2
回归分析与概率的综合问题
（2024·杭州二模）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，表中是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量
y（万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
经计算可得：y＝110∑i=110yi＝1.85，∑i=110tiy
（1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；
（2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），X的分布列如下：
X
2
3
4
P
1
1
1
今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.
解：（1）设y关于t的经验回归方程为y＝α＋βt，
则t＝1+2+…+99＝5，y＝19∑i=19yi＝19（∑i=110yi－0.5）＝19
∑i=19ti2＝∑i=110ti2－102＝385－100＝285，∑i=19tiyi＝∑i=1
所以β＝∑i=19ti
α＝y－βt＝2－160×5＝
所以y关于t的经验回归方程是y＝2312＋160
（2）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门