重难专攻（十二）概率与统计的综合问题
概率与统计的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.
统计图表与概率的综合问题
【例1】（2022·新高考Ⅱ卷19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1％，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16％.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
解：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄x＝10×（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.
（2）由于患者的年龄位于区间[20，70）是由患者的年龄位于区间[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70）组成的，且相互独立，
所以所求概率P＝1－（0.001＋0.002＋0.006＋0.002）×10＝0.89.
（3）设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50）为事件A，患这种疾病为事件B，则P（A）＝16％，
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40，50）的概率为0.023×10＝0.23，
结合该地区这种疾病的患病率为0.1％，可得P（AB）＝0.1％×0.23＝0.00023，
所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50），则此人患这种疾病的概率为P（B｜A）＝P（AB）P
解题技法
统计图表与概率综合问题的求解策略
（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；
（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.
（2024·六盘水第一次模考）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据以往资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据频率分布直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（3）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100，110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率），求T的均值.
解：（1）当X∈[100，130）时，
T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.
当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.
所以T＝800
（2）由（1）知当且仅当120≤X≤150时利润T不少于57000元.
由频率分布直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
（3）依题意可得T的分布列为
T
45000
53000
61000
65000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以E（T）＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.
回归分析与概率的综合问题
【例2】（2024·烟台一模）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡x
1
2
3
4
5
6
平均过关时间
y（单位：秒）
50
78
124
121
137
352
计算得到一些统计量的值为：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中u
（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系