§5.4平面向量中的综合问题
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·昆明模拟)设x0，向量AB=(x2，-2x)在向量AC=(1，2)上的投影向量为λAC(λ∈R)，则实数λ的最小值为()
A.-45 B.-
C.-15 D.-
2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若|AP-AB-AD|=1，则|AP|的最大值是()
A.22-1 B.22
C.22+1 D.22+2
3.已知非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|·BC=0且AB
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，点D满足CD=2DB，AD=37，则BC的长为()
A.37 B.36
C.33 D.6
5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC=2，则(PB+PD)·PA有()
A.最大值为12
B.最小值为-12
C.最小值为-12
D.最小值为-4，最大值为1
6.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD=2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若AE=aAC+bAB(a，b∈R)，则a2+b2的最小值为()
A.134 B.
C.413 D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有()
A.若AD=12(AB+AC)，则点D
B.若AD=13AB|AB|cos
C.若AD=2AB-AC，则点D在边BC的延长线上
D.若AD=xAB+yAC，且x+y=12，则△BCD是△ABC
8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA+2PC=0，QA=2QB，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是()
A.PB∥CQ
B.BP=13BA
C.PA·PC0
D.S=4
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量a=(-3，2)，b=(2，1)，则|a+tb|(t∈R)的最小值为，此时t的值为.?
10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC=3，AB=1，平面ABC内动点P满足CP=1，则AP·BP的最小值为.?
答案精析
1.A2.C
3.C[由AB|AB|+AC|AC|
所以AB=AC，设AB，CA的夹角为
而AB|AB|·CA|AC
又θ∈[0，π]，所以θ=π3，∠A=π-π3=2π3，故
4.A[因为CD=2DB
所以AD=AB+BD=AB+1
=AB+13(AC
=23AB
设AB=x，x0，
则|AD|2=2
得37=49x2+49×x×9cos60°+19×
即2x2+9x-126=0，
解得x=6(舍负)，即AB=6，
所以|BC|=|AC-AB|=
=62+92
5.C[设AC与BD的交点为O，则PB+PD=2PO，所以(PB+PD)·PA=2PO·
如图(1)，当点P在AO上，设|PO|=a∈[0，1]，(PB+PD)·PA=2PO·PA=-2a(1-a)，当a=12时，有最小值为-1
如图(2)，当点P在CO上，设|PO|=a∈[0，1]，(PB+PD)·PA=2PO·PA=2a(1+a)，当a=1时，有最大值为4.
综上，(PB+PD)·PA有最小值为-12，最大值为4
6.C[设BE=λBD，λ∈[0，1
因为AD=2DC，所以AE=AB+BE=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)
=2λ3AC+(1-
所以a=2λ3，b
所以a2+b2=49λ2+(1-λ)
=139λ2-2λ+1
当λ=-?22×139=913时，a2+b
7.ABD[对于A，
∵AD=12(AB
即12AD-12AB=12AC
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，AD·
=1
=13(-|BC|+|BC|)=0
即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵AD=2AB-AC，即AD-AB=AB-AC，即BD
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
对于D，∵AD=xAB+yAC，且x+y=12，设
则AM=2AD=2xAB+2yAC，且2x+2y=1，故M，B，C三点共线，且|AM|=2|AD|
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.]
8.BCD[由PA+2PC=0，
QA=2QB
可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；
对于B，BP=BA+AP=BA+23AC=BA+23(BC-BA)=
对于C，PA