§8.8抛物线
课标要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
y2=2px(p0)
y2=-2px(p0)
x2=2py(p0)
x2=-2py(p0)
图形
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
焦点
p
?
0
0
准线
方程
x=-p
x=p
y=-p
y=p
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e=1
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(×)
(2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).(×)
(3)标准方程y2=2px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(√)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p0)，也可以写成y=ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.(√)
2.(多选)关于抛物线y2=-2x，下列说法正确的是()
A.开口向左 B.焦点坐标为(-1，0)
C.准线为x=1 D.对称轴为x轴
答案AD
解析对于抛物线y2=-2x，开口向左，焦点坐标为?12，0，准线方程为x=12，对称轴为
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2=2px(p0)上，若|PF|=152，则p
A.3 B.6 C.9 D.12
答案A
解析抛物线C：y2=2px(p0)，准线方程为x=-p2，P(6，y0
|PF|=6+p2=152，解得
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2=2px(p0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线的距离为.?
答案5
解析由题意22=2p×2，解得p=1，所以抛物线的准线方程为x=-12，故所求距离为2+12=
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2=p24，y1y2=-p
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α
(3)1|FA|+1|FB|=
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
题型一抛物线的定义及应用
例1(1)(2025·东北三省精准教学联考)已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，若抛物线上一点M满足|MF|=2，∠OFM=60°，则p等于()
A.3 B.4 C.6 D.8
答案A
解析如图，过点M分别向x轴和准线作垂线，垂足分别为A，N，
根据抛物线定义，
有|MF|=|MN|=2，
所以p=|MN|+|MF|·cos60°=3.
(2)记抛物线E：y2=4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|+|AB|的最小值为()
A.2 B.3 C.4 D.5
答案B
解析过点A作准线x=-1的垂线，垂足为D，则|AF|=|AD|，则|AF|+|AB|=|AD|+|AB|≥3，如图所示，所以|AF|+|AB|的最小值为3.
延伸探究本例(2)中，点B坐标改为(2，3)，点A到准线的距离为d，求|AB|+d的最小值.
解令x=2，y2=89，
故点B在抛物线外部.
由抛物线定义，d=|AF|，
∴|AB|+d=|AB|+|AF|
≥|BF|=10，如图所示，
当且仅当B，A，F三点共线时等号成立，
∴|AB|+d的最小值为10.
思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1(1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是()
A.4 B.6 C.7 D.9
答案B
解析抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，由抛物线定义可得xM+1=10，故xM=10-1=9，则|yM|=4xM=4×9=6，即M
(2)已知点P为抛物线y2=-4x上的动点，设点P到直线l：x=1的距离为d1，到直线x+y-4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是()
A.52 B.522 C.2
答案B
解析直线l：x